電磁學1.高斯定律

庫倫定律

庫侖定律（Coulomb's law）是靜止點電荷相互作用力的規律。

真空中兩個靜止的點電荷之間作用力與她們電荷量乘積成正比，與距離的平方成反比，可以表示為

\[\overset{\rightharpoonup }{F}=k\frac{q_1 *q_2* \overset{\rightharpoonup }{e}}{r^2} \]

\(k\) 為庫倫常量，\(\overset{\rightharpoonup }{e}\) 表示方向矢量。

有時候 \(k\) 也會寫成：

\[k=\frac{1}{4 \pi \epsilon _0} \]

\(\epsilon _0\) 是真空介電常數。

電場

電場是電荷及變化磁場周圍空間里存在的一種特殊物質。這種物質與通常的實物不同，它雖然不是由分子原子所組成的，但它卻是客觀存在的特殊物質，具有通常物質所具有的力和能量等客觀屬性。

生場電荷 \(Q\) 產生的電場 \(\overset{\rightharpoonup }{E}\) 可以通過檢驗電荷 \(q\) 求出：

\[\overset{\rightharpoonup }{E}=\frac{\overset{\rightharpoonup }{F}}{q} \]

檢驗電荷上作用力通過庫倫定律求出，代入可得：

\[\overset{\rightharpoonup }{E}=k\frac{Q* \overset{\rightharpoonup }{e}}{r^2} \]

作用力取決於小 \(q\) ,但是電場不是，電場只表征大 \(Q\) 周圍的產生的情況，從式子中可以理解為單位電荷所受到的電場力。所以電場的意義在於，在某一位置引入電荷，我們都能知道她所受到的力的大小和方向。

電通量

開放曲面

通過微元面積 \(dA\) 電通量定義為：電場向量 \(E\) 乘以該微元面積上法向量 \(\hat{n}\) 再乘以微元面積 \(dA\)
直觀上理解就是穿透給定表面的電場線的數目稱為“電通量”。因此，電場可以看作是單位面積上的電場線數。

\[\text{d$\phi $}= \overset{\rightharpoonup }{E}*\hat{n}*\text{dA} \]

一般教材上把 \(\hat{n}*\text{dA}\) 簡化為向量 \(\overset{\rightharpoonup }{\text{dA}}\)，此時 \(\overset{\rightharpoonup }{\text{dA}}\) 永遠垂直於面單元 \(dA\)，再通過點乘公式算出，即

\[\text{d$\phi $}= \overset{\rightharpoonup }{E}*\overset{\rightharpoonup }{\text{dA}}=E*dA*cos\theta \]

我的直觀理解是垂直穿過該面積的電場線多少，因為是垂直，所以運用向量內積計算，內積幾何含義就是一個向量在另一個向量上的投影的積，就是同方向的積。

整個開放曲面上通過電通量可以通過積分寫出

\[\phi=\int\overset{\rightharpoonup }{E} *\overset{\rightharpoonup }{\text{dA}} \]

類比

類比氣/液體體積流量計算：

體積流量（Volume Flowrate）是單位時間里通過過流斷面的流體體積。

設水管是圓柱形的，則流速(v) 乘以時間(t) 就是該時間內圓柱內總液體的長度 L=vt，其實流速=每秒經過柱體的高。

再乘以橫截面積(s) 就是總體積 V=Ls ——圓柱的體積公式：底面積乘高。
那么單位時間的體積，就是總體積除以時間。

\[VF(流量)=V/t=Ls/t=vts/t=vs \]

閉合曲面

如果是閉合曲面，則

\[\phi=\oint \overset{\rightharpoonup }{E} *\overset{\rightharpoonup }{\text{dA}} \]

結果是標量，如果等於零，可以理解為進去多少空氣，就出來多少空氣。

點電荷上電通量

電場向量和微元面積的法向量都徑直向外，所以夾角為0.

每處的電場大小相等。

計算點電荷表面上的電通量大小很簡單：

\[\phi= 4 \pi r^2 E \]

電場我們可以計算出來：

\[{E}=\frac{Q* \overset{\rightharpoonup }{e}}{4 \pi \epsilon _0r^2} \]

代入可得：

\[\phi=\frac{Q }{ \epsilon _0} \]

可見，與距離無關。不難理解，就像空氣向外流，不論球有多大，出去的量是一定的。

通量由中心的電荷量決定。

所以，如果不是球體，而是任意形狀的閉合曲面，她的氣流量還是一樣。同樣能得到這個結果。

高斯定律

在靜電場中，穿過任一封閉曲面的電場強度通量只與封閉曲面內的電荷量的代數和有關，且等於封閉曲面的電荷的代數和除以真空中的電容率。即：

\[\phi=\oint \overset{\rightharpoonup }{E} *\overset{\rightharpoonup }{\text{dA}}=\frac{\sum _{ } Q}{\epsilon _0} \]

不管封閉曲面形狀如何選取，都成立。

這是麥克斯韋方程組四個方程的第一個。

高斯定律和庫倫定律某種意義上是同一種定律，都構建了電場與電荷的關系。