時變磁場的計算
導線連接圓形電容，電容半徑為 \(R\) ，通電的時候，會在電容內部產生一個變化的電場E。
靜態時，我們可以計算電容內部電場為
\[E=\frac{\sigma _{\text{free}}}{\kappa \epsilon _0} =\frac{Q_{\text{free}}}{ \text{$\pi $R}^2 \kappa \epsilon _0} \]
但由於給電容通電，\(Q_{free}\) 在不斷增加，電場變化的，為 \(\frac{\text{dE}}{\text{dt}}\) ,根據電流定義：
\[I=\frac{\text{dQ}_{\text{free}}}{\text{dt}} \]
可得變化的電場為
\[\frac{\text{dE}}{\text{dt}}=\frac{I}{\kappa \epsilon _0 \text{$\pi $R}^2} \]
只有電流為0時，電容內部才沒有變化的電場。
通電瞬間，中間有電介質電容，電荷在極板上不斷聚集，同時電介質不斷的極化，感應電荷不斷重新排列（電荷移動——內部有電流），當極板上的正負電荷達到一定程度，與電源提供的電場大小相同時，電荷不再聚集，電介質不再極化時，此時電流就為0。但是在真空電介質中，電容內部是沒有電流的。
在距離導線 \(r\) 處取一點 \(P_1\) ，在電容上方距離導線相同距離的地方取一點 \(P_2\)。
我們關心的是，\(P_1\) 和 \(P_2\) 點的磁場是多少？由於電容是開口的，沒有電流流過，怎么計算？
計算磁場大小，我們前面學過了畢奧薩法爾定律和安培定律，理論上畢奧薩法爾定律可以計算，但是電流會流到電容圓形極板上，顯然很難計算。故用安培定律計算。
計算 \(P_1\) 處磁感應強度
選擇半徑為 \(r\) 的閉合圓環應用安培定律，給圓環加上一個開曲面，先可以直接選擇這個平面。
應用安培定律可得
\[B_{P_1}\ 2 \text{$\pi $r}=\mu _0 I \]
故
\[B_{P_1}=\frac{ \mu _0 I}{2 \text{$\pi $r}} \]
依然選擇半徑為 \(r\) 的閉合圓環應用安培定律，但給圓環加上一個穿過電容內部的開曲面，因為電容內部是開路的，沒有電流穿過開曲面。
應用安培定律
\[B_{P_1}\ 2 \text{$\pi $r}=\mu _0 0 \]
現在計算結果為0。
計算 \(P_2\) 處磁感應強度
同 \(P_1\) 一樣，選擇半徑為 \(r\) 的閉合圓環，給圓環加上一個開曲面，先可以直接選擇這個平面。
應用安培定律
\[B_{P_2}\ 2 \text{$\pi $r}=\mu _0 0 \]
故
\[B_{P_2}=0 \]
顯然出錯了，計算有問題。
這說明，安培環路定律不夠完善。前面的安培環路定律只能研究恆定磁場與直流(傳導電流)之間的關系。
修正的安培環路定理與位移電流
麥克斯韋大佬作出了解釋。他認為不論閉合曲線包圍的開曲面形狀如何，都應該得到相同的結果。
麥克斯韋對安培定律進行了完善。
他推理，法拉第定律指出，變化的磁通量會激發電場，那么也許變化的電通量會激發磁場。
開曲面中電通量為
\[\phi _E=\underset{\text{open}\ \text{surface}}{\int }\overset{\rightharpoonup }{E} \overset{\rightharpoonup }{\text{dA}} \]
電容有“電流""時，必須有變化的電場。麥克斯韋提出，我們必須加上電通量的導數。
\[\frac{\text{d$\phi $}_e}{\text{dt}} \]
修正的安培環路定理：
\[\underset{\text{close}\ \text{loop}}{\oint }\overset{\rightharpoonup }{B} \overset{\rightharpoonup }{\text{dl}}=\mu _0\ (I+\epsilon _0 \kappa \frac{d}{\text{dt}} \underset{\text{open}\ \text{surface}}{\int } \overset{\rightharpoonup }{E} \overset{\rightharpoonup }{\text{dA}}) \]
其中
\[\epsilon _0 \kappa \frac{d}{\text{dt}} \underset{\text{open}\ \text{surface}}{\int } \overset{\rightharpoonup }{E} \overset{\rightharpoonup }{\text{dA}} \]
麥克斯韋將這一項記為 "位移電流" 。
實際上后面還需要修正。
但現在我們得到計算磁場的工具。
重新考慮 \(P_1\)
計算\(P_1\) 處磁感應強度
如果直接選擇圓環內平面作為開曲面，沒有電場穿過開曲面，顯然位移電流項為0，故
\[B_{P_1}=\frac{ \mu _0 I}{2 \text{$\pi $r}} \]
如果選擇一個穿過電容內部的開曲面，沒有電流穿過開曲面，第一項電流為0，第二項加入電通量的導數，假設電容沒有邊緣場，則電通量就是 $ E \pi R^2$ ,
\[\begin{align} B_{P_1}\ 2 \text{$\pi $r}&=\mu _0 \epsilon _0 \kappa\ \pi R^2\frac{\text{dE}}{\text{dt}}\\ &=\mu _0 \epsilon _0 \kappa\ \pi R^2\ \frac{I}{\kappa \epsilon _0 \text{$\pi $R}^2}\\ &=\mu _0 I \end{align} \]
可得
\[B_{P_1}=\frac{ \mu _0 I}{2 \text{$\pi $r}} \]
結果相同。
一種是位移電流項沒有貢獻，一種是傳導電流項沒有貢獻。
電容內部的磁場
現在我們可以計算電容內部任何地方的磁場。
假設 \(P_2\) 在距離導線 \(r<R\) 的距離，直接選擇圓環內平面作為開曲面，有電場穿過。
應該修正后的安培環路定理，注意開曲面表面積是 \(\pi r^2\)
\[\begin{align} B_{P_2}\ 2 \text{$\pi $r}&=\mu _0 \epsilon _0 \kappa\ \pi r^2\frac{\text{dE}}{\text{dt}}\\ &=\mu _0 \epsilon _0 \kappa\ \pi r^2\ \frac{I}{\kappa \epsilon _0 \text{$\pi $R}^2}\\ &=\mu _0 I \end{align} \]
可得
\[B_{P_2}=\frac{ \mu _0 I r}{2 \pi R^{2}} \]
我們可以畫出電容磁感應強度關於距離 \(r\) 曲線圖
但實際上，接近邊緣時是不正常的（方框，也就是 $r=R $），因為我們假設了邊緣場為0，不同電容有不同的邊緣場，很難准確計算，所以很難改正。
