電磁學10.安培環路定律

安培環路定律

由畢奧法薩爾定律我們知道，在無限長載流導線中，在半徑為 \(r\) 的區域磁感應強度為

\[B=\frac{ \mu _0 I}{2 \pi r} \]

如果把該圓無限分割成小的微元 \(dl\) （與前面導線長度微元dl區分）。計算 \(B d\)l 沿着該閉合圓周的積分，可得

\[\oint\overset{\rightharpoonup }{B} \overset{\rightharpoonup }{\text{dl}}=B 2 \pi r \]

而

\[B 2 \pi r= \mu _0 I \]

故

\[\oint\overset{\rightharpoonup }{B} \overset{\rightharpoonup }{\text{dl}}=\mu _0 I \]

這個式子告訴我們，不管繞多遠，\(Bdl\) 的積分都等於 \(\mu _0 I\)

因為 B 與 r 半徑成反比。

注意，\(B\) 與 \(dl\) 是點乘。

安培大佬發現，不一定非要沿着圓周運動才能得到 \(\mu _0 I\) 。可以沿着任意彎曲的閉合路徑積分。

結果仍然可以得到

\[\oint\overset{\rightharpoonup }{B} \overset{\rightharpoonup }{\text{dl}}=\mu _0 I \]

定義：

在穩恆磁場中，磁感應強度B沿任何閉合路徑的線積分，等於這閉合路徑所包圍的各個電流的代數和乘以磁導率。這個結論稱為安培環路定理（Ampere circuital theorem）

這個定義中，被“包圍”的定義有些不太完善，下面進行補充。

任意選擇一條閉合路徑，我們需要給這條閉合路徑加一個開曲面，任何開曲面都可以，但是必須連接到該閉合路徑上（就像一個袋子）。

只有穿過這個開曲面的電流，我們才真正地說她是“被包圍”，可以說，就是穿過閉合路徑和開曲面的電流。

從開口環路看進去，如果按環路順時針CW轉動為正方向，根據右手定則，

1. 如果電流產生的磁場是順時針的，則規定 \(I>0\) .
2. 如果電流產生的磁場是逆時針的，則規定 \(I<0\) .

如果按環路逆時針CCW轉動為正方向，

1. 如果電流產生的磁場是逆時針的，則規定 \(I>0\) .
2. 如果電流產生的磁場是順時針的，則規定 \(I<0\) .

但我們應用的時候，都會選擇簡單的路徑去簡化計算。

通電導線的磁場

導線半徑為 \(R\) ，假設電流均勻地分布在導線上，電流密度均勻，計算導線任意的磁場。

選擇一個半徑為 \(r\) 的圓形路徑，因為圓的對稱性，能保證路徑上每處磁場相等。選擇一個開曲面連接到環路上。因為電流是朝向紙面向外，所以根據右手定則，選擇環路逆時針轉動方向為正方形，這樣電流也是正的。

當 \(r>R\) 時

根據安培環路定理可得

\[B 2\pi r = \mu _0 I\rightarrow B= \frac{ \mu _0 I}{2 \pi r} \]

此時磁感應強度大小隨環路半徑 \(\frac{1}{r}\) 下降。

當 \(r<R\) 時

因為此時不是全部電流都在環路里面，所以需要注意是多少電流，因為前面假設在導線中電流密度一樣，所以環路內的電流其實就是橫截面積之比 \(\frac{2 \pi r^2}{2 \pi R^2}\) 乘以總電流 \(I\)。

\[B 2\pi r = \mu _0 \frac{r^2}{R^2}I\rightarrow B= \frac{ \mu _0 I r}{2 \pi R^{2}} \]

此時磁感應強度大小隨環路半徑 \(r\) 線性增加。哇，好神奇是不是。

當 \(r=R\) 時

上面兩個式子的結果都是一樣的，此時r變成R：

\[B= \frac{ \mu _0 I}{2 \pi R} \]

如果橫軸是r，縱軸是磁感應強度B，可以畫出來：

導線表面上磁感應強度是最大的。

通電螺線管的磁場

先感性認識一下，看下圖有一個電流環（理解隨便找的），點圓表示朝紙面向外，磁場呈逆時針，叉圓表示朝紙面向里，磁場呈順時針。兩者中間就會有很少數磁場線是直線，多數磁場線是朝兩邊彎曲發散的。

但如果在旁邊有相同的電流環，下面左圖，右邊的這些電流環會使發散的磁場線收縮起來，內部就會形成近乎恆定的磁場，

電流環纏繞越緊，在內部，磁場的恆定程度越大，如下面右圖。而外部的磁感應強度是很小的。

那么，螺線管內部磁感應強度是多大呢？

假設螺線管長度為大寫 \(L\) ，螺線管有 \(N\) 匝，內部磁場恆定。從左邊看進去，電流順時針流動，根據右手定則我們知道磁場自左向右，假設螺線管外部的磁場為0。

應用安培環路定理我們首先需要選擇一條閉合路徑——一條長邊為 \(l\) 在螺線管中間的矩形。

按矩形的四條邊分為4個部分。

\[\begin{align} \oint \overset{\rightharpoonup }{B} \overset{\rightharpoonup }{\text{dl}}&=\int_1 \overset{\rightharpoonup }{B} \overset{\rightharpoonup }{\text{dl}} + \int_2 \overset{\rightharpoonup }{B} \overset{\rightharpoonup }{\text{dl}}+ \int_3 \overset{\rightharpoonup }{B} \overset{\rightharpoonup }{\text{dl}} +\int_4 \overset{\rightharpoonup }{B} \overset{\rightharpoonup }{\text{dl}}\\ &=0+0+Bl+0\\ &=Bl \end{align} \]

因為

對第一條邊，我們假設螺線管外部磁場為0，所以積分為0

對第二、四條邊，在螺線管外面的部分磁場為0，這部分積分為0，在螺線管內部，因為 \(dl\) 與磁場方向垂直，所以點乘結果為0。

故只有第三條邊有貢獻。

用矩形邊內的紙面作為我們的曲面，穿過曲面的電流是多少，需要知道線圈穿過這個曲面多少次，用比例關系可以求出，\(L\) 上有 \(N\) 匝，所以 \(l\) 上匝數為

\[n=\frac{l N}{L} \]

所以穿過曲面總的電流就是

\[\frac{l N}{L} I \]

故

\[Bl=\mu _0 \frac{l N}{L} I \]

可得

\[B=\mu _0 \frac{ N}{L} I \]

在螺線管的長度遠大於半徑時，這是對螺線管內部磁場一個很好的近似。

磁感應強度正比於單位長度的匝數。因為第一匝線圈產生的磁場類似磁偶極子，在遠處，磁場削減的很快，可能幾乎感受不到，所以即使多匝，但每匝距離較遠，在另一端磁感應強度也不會明顯增強。而增大單位長度的匝數，實際上是把每個匝數的磁場疊加，多匝進行壓縮在一起，磁場疊加。