電磁學11.法拉第電磁感應定律

楞次定律

感應電流具有這樣的方向，即感應電流的磁場總要阻礙引起感應電流的磁通量的變化。

電流想要反抗磁場的改變，可以說是物理中最具人性的定律，因為我們都具有慣性，在一定程度上都拒絕改變。

如下圖，只有在抽出和伸入的過程中（磁場變化），線圈才會產生感應電流，並且電流方向相反。靜止時候（磁場恆定）電流為0。

楞次定律在確定感應電流的方向時非常有用。

磁通量

與電通量類似。開曲面中，磁通量等於磁場與面積微元的點乘的積分：

\[\phi _B=\int \overset{\rightharpoonup }{B} \overset{\rightharpoonup }{\text{dA}} =\int B \text{dA} \cos (\theta ) \]

dA的方向是微元面積的法向量的方向。

在閉合回路中，同安培環路定理中討論一樣，我們需要在回路上連接一個開曲面，代表討論的只是穿過閉合回路內部的磁通量變化。

因為討論通量，我們必須先定義我們的表面，通量只能通過表面。

法拉第電磁感應定律

法拉第大佬發現電磁感應現象：變化的磁場會產生電場。

法拉第大佬還發現，放在變化磁通量中的導體，會產生感應電動勢。

他發現，這個電動勢正比於感應回路中產生的磁場變化率，即

\[\epsilon \propto \frac{\text{dB}}{\text{dt}} \]

他還發現電動勢正比於感應環路面積

\[\epsilon \propto A \]

因此猜測，電動勢其實是這個感應環路面積內磁通量變化的結果。

將一條導線連接成環，使環內磁通變化，開曲面就是環內連接的紙面。這樣我們就得到了一個閉合回路圍繞的開曲面，假設導線長度為 \(l\) 。產生感應電流大小為 \(I\)。以下討論均針對這種情況。

感應電動勢的大小等於磁通量變化率的負值：

\[\epsilon =-\frac{\text{d$\phi $}_B}{\text{dt}} =-\frac{d}{\text{dt}} \underset{\text{open} \ \text{surface}}{\int } \overset{\rightharpoonup }{B} \overset{\rightharpoonup }{\text{dA}} \]

為了體現楞次定律，感應電流反抗磁通的變化，加了個負號，使得數學上正確。

對於N匝線圈，總感應電動勢將是其 \(N\) 倍

\[\epsilon =-N \frac{\text{d$\phi $}_B}{\text{dt}} \]

這是變壓器的基本原理，通過匝數比得到我們想要的電壓。

回憶前面內容，電源電動勢在數值上等於非靜電力在電源內部把正電荷從電源負極移動到電源正極所做的功。

類比，這里的“非靜電力”，就是“磁通的變化率”。

如果站在這個導體（導線/線圈）里面，沿着電流的方向前進，顯然導線中每個地方都應該能看到電場，沿導線一周，則感應電動勢等於

\[\epsilon=\underset{\text{close}\ \text{loop}}{\oint }\overset{\rightharpoonup }{E} \overset{\rightharpoonup }{\text{dl}} \]

個人理解：類比前面的電源電動勢，在電源中電動勢就是內部非靜電力做的功，在不計內阻的情況下，她應該等於外部負載上的電勢差，而電勢差是外部單位電荷在靜電力下所做的功，單位電荷做的功就是Edl的環路積分。

綜上:

\[\epsilon=\underset{\text{close}\ \text{loop}}{\oint }\overset{\rightharpoonup }{E} \overset{\rightharpoonup }{\text{dl}} =-\frac{d}{\text{dt}} \underset{\text{open} \ \text{surface}}{\int } \overset{\rightharpoonup }{B} \overset{\rightharpoonup }{\text{dA}} \]

其中

close loop代表閉合回路。

open surface 表示開曲面，必須連接到回路上。

這就是法拉第電磁感應定律。

關於KVL

有趣的是，基爾霍夫電壓（KVL）定律告訴我們，繞回路一圈，Edl的閉合回路積分總是0（這是KVL的本質，單位電荷繞一圈做功為0），但是在有變化磁通的時候，KVL是不成立的。變化的磁通會讓導線內部的電場變成非保守的，基爾霍夫定律只有在電場是保守場的情況下才成立。保守場做功與路徑無關，兩點之間的電勢差唯一確定；而非保守場則與路徑有關，這個實驗中，繞一圈將得到一個電動勢。所以我們現在處理的是非保守場，基爾霍夫定律只是法拉第定律的特例（磁通變化率為0的時候）。法拉第定律總是有效的。
這是Walter Lewin教授在課程上講的內容。

如圖，R1≠R2，當中間通電螺線管的磁通變化時，且磁場影響整個電路時，V1≠V2.

這個結論引發Walter Lewin和ElectroBOOM整流俠對這個結論的爭議，整流俠最后對爭議做了總結，鏈接：

https://www.bilibili.com/video/av39313806

現在《電路分析》中，《電路（第五版）》（邱關源）中對KVL的定義是“在集總電路中，任何時刻，沿任一回路所有支路電壓的代數和恆等於零”（P31）。分析的是集總參數電路，指分析電感和電容之類的元件時，要把她們當成集總電路元件，把元件的場固定在那個元件之內，不泄露到外面出去，這樣我們就可以方便地計算各個元件兩側的電壓，這使得KVL在各個場合下都可以使用。

此時，元件內部和外部的物理性質就可以單獨分析。

而Walter Lewin做的實驗，就是非集總電路，通電螺線管產生的變化磁場影響到周圍的元件和導線。使得電路分析變得復雜。
解決方式就是等效成集總電路，把等效電阻/等效電感/等效電容單獨拿出來分析。