前言
正弦定理
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文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等；
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符號語言：\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；
[拓展：\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}=2R\)(\(R\)為三角形的外接圓的半徑)]；
定理證明
【思路一】：利用三角形的高證明正弦定理[易想易證]；
證明：(1).設\(\triangle ABC\)為銳角三角形時，設邊\(AB\)上的高為\(CD\)，根據銳角三角函數定義可知，
有\(CD=a\cdot sinB\)；\(CD=b\cdot sinA\)；由此得到，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}\)；
同理得到，\(\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)，故\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)在銳角三角形中成立；
(2).設\(\triangle ABC\)為鈍角三角形時，過點\(C\)做邊\(AB\)上的高，交\(AB\)的延長線於點\(D\)，根據銳角三角函數定義可知，
有\(CD=a\cdot sin\angle CBD=a\cdot sin\angle ABC\)；\(CD=b\cdot sinA\)；由此得到，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}\)；
同理得到，\(\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)，故\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)在鈍角三角形中成立；
(3).當\(\triangle ABC\)為直角三角形時，比如\(C=\cfrac{\pi}{2}\)，容易驗證\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)成立；
綜上所述，在\(\triangle ABC\)中，一定有\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；
【思路二】：利用三角形的面積證明正弦定理[易想易證]；
證明：如圖在\(\triangle ABC\)中，邊\(AB\)上的高為\(CD\)，則\(CD=a\cdot sinB\)，
則\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}\times AB\times CD=\cfrac{1}{2}acsinB\)；
同理可得到\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}absinC=\cfrac{1}{2}bcsinA\)；
則有\(acsinB=absinC=bcsinA\)，同除以\(abc\)，得到
\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；
【思路三】：向量法證明正弦定理
證明：(1).如圖所示，設\(\triangle ABC\)為銳角三角形，過點\(A\)做與\(\overrightarrow{AC}\)垂直的單位向量\(\vec{j}\)，
則由圖可知，\(<\vec{j}，\overrightarrow{AC}>=90^{\circ}\)，\(<\vec{j}，\overrightarrow{AB}>=90^{\circ}-A\)，
\(<\vec{j}，\overrightarrow{CB}>=90^{\circ}-C\)，延長兩個向量可以看出來；且有\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\)，
給上述的向量式同時取與向量\(\vec{j}\)的數量積，得到\(\vec{j}\cdot (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})=\vec{j}\cdot\overrightarrow{AB}\)，
整理得到，\(\vec{j}\cdot \overrightarrow{AC}+\vec{j}\cdot\overrightarrow{CB}=\vec{j}\cdot\overrightarrow{AB}\)，
則\(|\vec{j}||\overrightarrow{AC}|cos90^{\circ}+|\vec{j}||\overrightarrow{CB}|cos(90^{\circ}-C)=|\vec{j}||\overrightarrow{AB}|cos(90^{\circ}-A)\)
即\(a\cdot sinC=c\cdot sinA\)；即\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{c}{sinC}\)；
過點\(C\)做與\(\overrightarrow{CB}\)垂直的單位向量\(\vec{i}\)，則由圖可知，\(<\vec{i}，\overrightarrow{AC}>=90^{\circ}-C\)，\(<\vec{i}，\overrightarrow{CB}>=90^{\circ}\)，
\(<\vec{i}，\overrightarrow{AB}>=90^{\circ}-B\)，延長兩個向量可以看出來；且有\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\)，
給上述的向量式同時取與向量\(\vec{i}\)的數量積，得到\(\vec{i}\cdot (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})=\vec{i}\cdot\overrightarrow{AB}\)，
整理得到，\(\vec{i}\cdot \overrightarrow{AC}+\vec{i}\cdot\overrightarrow{CB}=\vec{i}\cdot\overrightarrow{AB}\)，
則\(|\vec{i}||\overrightarrow{AC}|cos(90^{\circ}-C)-+|\vec{i}||\overrightarrow{CB}|cos90^{\circ}=|\vec{i}||\overrightarrow{AB}|cos(90^{\circ}-B)\)
即\(b\cdot sinC=c\cdot sinB\)；即\(\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；
即\(\triangle ABC\)為銳角三角形時，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；
(2).當\(\triangle ABC\)為直角或者鈍角三角形時，不妨令\(B\geqslant 90^{\circ}\)，仿照上圖放置角\(B\)，
則同理可以證明\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；
綜上所述得到，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；證畢。
【思路四】：三角形的外接圓證明
證明：(1).如圖所示，設\(\triangle ABC\)為銳角三角形，做出其外接圓\(\odot O\)，連結\(BO\)並延長交\(\odot O\)於點\(A'\)，
則由同弧所對的圓周角相等，得到\(\angle A=\angle A'\)，
在\(Rt\triangle A'BC\)中，\(sinA'=\cfrac{a}{2R}=sinA\)；
連結\(AO\)並延長交\(\odot O\)於點\(B'\)，則由同弧所對的圓周角相等，得到\(\angle B=\angle B'\)，
在\(Rt\triangle AB'C\)中，\(sinB'=\cfrac{b}{2R}=sinB\)；
同理得到，\(\cfrac{c}{2R}=sinC\)；故\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}=2R\)；
(2).如圖所示，若\(\triangle ABC\)為直角三角形，做出其外接圓\(\odot O\)，連結\(BO\)並延長交\(\odot O\)於點\(A'\)，
容易證明\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}=2R\)；
(3).如圖所示，若\(\triangle ABC\)為鈍角三角形，做出其外接圓\(\odot O\)，連結\(BO\)並延長交\(\odot O\)於點\(A'\)，
則由同弧所對的圓周角相等，得到\(\angle A=\angle A'\)，在\(Rt\triangle A'BC\)中，\(sinA'=\cfrac{a}{2R}=sinA\)；
連結\(AO\)並延長交\(\odot O\)於點\(B'\)，則由同弧所對的圓周角相等，得到\(\angle B=\angle B'\)，
在\(Rt\triangle AB'C\)中，\(sinB'=\cfrac{b}{2R}=sinB\)；
同理得到，\(\cfrac{c}{2R}=sinC\)；故\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}=2R\)；
綜上所述得到，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；
【思路五】：用余弦定理證明正弦定理
【思路六】：三角函數定義法
【思路七】：構造向量的射影法[教程上的證法]
如圖所示，設\(\triangle ABC\)為鈍角三角形,以點\(A\)為原點，以射線\(AB\)的方向為\(x\)軸正方向建立直角坐標系，\(C\)點在\(y\)軸上的射影為\(C'\)，
由於向量\(\overrightarrow{AC}\)與\(\overrightarrow{BC}\)在\(y\)軸上的射影均為\(|\overrightarrow{OC'}|\)，即
\(|\overrightarrow{OC'}|=|\overrightarrow{AC}|cos(A-90^{\circ})=bsinA\)，
又\(|\overrightarrow{OC'}|=|\overrightarrow{BC}|sinB=asinB\)，
所以\(asinB=bsinA\)，即\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}\)，
同理，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{c}{sinC}\)，
所以，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；
若\(A\)為銳角或者直角，同理可得，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)；證畢。