一、定理大概描述
- 給定一個網格，每個格子由邊長為1的單位正方形組成。
- 網格內有一個多邊形，並且多邊形的頂點都在網格的交點處，也就是說頂點沒有一個落在了單位正方形的邊上或者單位正方形的內部
- 記多邊形的面積為S，多邊形內部的點的個數為I，多邊形邊上的點數為A
- 則多邊形的面積為 $$S=I+\frac{A}{2}-1$$
二、證明
在這樣的形狀內
$$S_{polygon}=S_{rectangle}-\sum S_{triangle}$$
區域5的三角形可以可以拆成兩個直角三角形之和
1、證明步驟
- （1）首先，證明對長方形是成立的；
- （2）接着，再證明對直角三角形是成立的；
- （3）然后，繼續證明對任意三角形也是成立的；
- （4）最后，證明對於兩個圖形的組合還是成立的。
首先證明（4）
- 假設任意一個多邊形的面積都有$$S=I+\frac{A}{2}-1$$，
- 則設定一個四邊形為$T_{1}$，邊上的點為 $A_{1}$, 內點$I_{1}$,
- 以$T_{1}$的一條邊（頂點數目為n）為公共邊生成另一個多邊形$T_{2}$，邊上的點為$A_{2}$， 內點為$I_{2}$
- 合成的多邊形內點$I_{1} + I_{2} + n - 2$， 邊上的點 $A_{1} + A_{2} - 2n + 2$
- 則$$I_{1} + I_{2} + n - 2 + \frac{(A_{1} + A_{2} - 2n +2)}{2}-1 = I_{1}+ \frac{A_{1}}{2} -1 + I_{2} - \frac{A_{2}}{2} -1$$
因此此假設成立
(1) 證明對長方形是成立的
長方形的長、寬長度分別為x，y
(2) 證明對於三角形是成立的
首先考慮直角三角形
將其放入矩形中，則這個矩形是兩個直角三角形的和。假設公共邊，也就是矩形的對角線上的點為n，則
- $$S_{right\_triangle} = \frac{xy}{2}$$
- $$A = x + y + n - 1,\ \ I =\frac{(x-1)*(y-1 ) - (n-2)}{2}$$
- $$S = I + \frac{A}{2} - 1 = \frac{xy - x - y - n + 3}{2} + \frac{x + y + n - 1}{2} - 1 = \frac{xy}{2}$$
(3) 任意三角形
對於任意三角形可以由 1個長方形 = 若干直角三角形 + 此三角形 拼接而成，用上面拆解的方法同理可證
多邊形可以由這些三角形、直角三角形、長方形拼接而成，由4的疊加性，證明完畢。