先來看一個直角三角形，如下左圖：
$\sin A$ 的值與三角形的邊長有什么聯系呢？
從右圖可以看出，角 $\alpha$ 的正弦對應單位圓上點的縱坐標，如果不理解可以先去閱讀博客。
現在要求角 $A$ 的正弦，應該以點 $A$ 為圓心做單位圓，以邊 $AC$ 為 $x$ 軸，那么有
$$\sin A = y$$
根據比例關系得
$$\frac{y}{a} = \frac{1}{c}$$
所以
$$\sin A = y = \frac{a}{c}$$
可以這么理解：假如 $c = 1$，那么邊 $CB$ 的長度 $a$ 直接就是角 $A$ 的正弦值，但是 $c \neq 1$，所以需要做一個歸一化，即 $\frac{a}{c}$。
將形式變化一下：
$$\frac{a}{\sin A} = c$$
所以這個比值就是代表比例 $c$。現在不再是直角三角形了，換成任意一個三角形，如下左圖：
此時角 $A$ 的對邊 $a$，和角 $A$ 的正弦比值代表什么含義呢？
$$\frac{a}{\sin A} = ?$$
畫出三角形的外接圓，如下圖
易知 $\angle A = \angle D$，所以
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{a}{\sin D}$$
$\bigtriangleup ABC$ 雖然不是一個直角三角形，但是 $\bigtriangleup BCD$ 是一個直角三角形，根據直角三角形的結論
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{a}{\sin D} = 2R$$
所以
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
其中，$R$ 為三角形外接圓的半徑。