正弦定理、余弦定理及解三角形

1. 概述
   1. 解三角形是三角函數的重要應用，在很大程度上也是主要應用，需要牢記
   2. 正余弦定理的相關公式較多，十分靈活，需要背熟公式，並且通過大量的練習來掌握
2. 正、余弦定理
   1. 正弦定理
      1. 公式
         1. $\frac{a}{\ sin A}=\frac{b}{\ sin B}=\frac{c}{\ sin C}=2R$
         2. 證明
            
            
            1. $\displaystyle \ sin C=\ sin D =\frac{AB}{AD}=\frac{AB}{2R}$
            2. $\displaystyle ∴ \frac{c}{\ sin c}=2R$
      2. 常見變形
         1. $a=2R \ sin A , b=2R \ sin B , c=2R \ sin C$
         2. $\displaystyle \ sin A =\frac{a}{2R} , \ sin B =\frac{b}{2R} , \ sin C= \frac{c}{2R}$
         3. $a:b:c=\ sin A:\ sin B:\ sin C$
         4. $a \ sin B =b \ sin A , b \ sin C= c \ sin B , a \ sin C = c \ sin A$
   2. 余弦定理
      1. 公式
         1. $a^2=b^2+c^2-2bc \ cos A$
         2. $b^2=a^2+c^2-2ac \ cos B$
         3. $c^2=b^2+a^2-2ba \ cos C$
         4. 證明
            
            1. $∵AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$且$BD=c \ cos B$
            2. $∴c^2-(c \ cos B)^2=b^2-(a-c \ cos B)^2$
            3. $c^2-c^2 \ cos^2 B = b^2-a^2+2ac \ cos B -c^2 \ cos^2 B$
            4. $c^2+a^2-b^2=2ac \ cos B$
            5. $b^2=a^2-2ac \ cos B$
      2. 常見變形
         1. $\displaystyle \ cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
         2. $\displaystyle \ cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
         3. $\displaystyle \ cos C=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}$
   3. 延伸
      1. $\displaystyle S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}ab \ sin C=\frac{1}{2}bc \ sin A=\frac{1}{2}ac \ sin B=\frac{abc}{4R}=\frac{1}{2}(a+b+c)r(r是內切圓半徑)$，這些公式可幫助計算$R , r$
3. 實際問題中的常用角
   1. 仰角和俯角
      1. 在同一鉛錘平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角
   2. 方位角
      1. 從正北方向起按順時針轉到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角
   3. 方向角
      1. 正北或正南方向與目標方向所成的銳角
   4. 坡度
      1. 坡面與水平面所成的二面角的正切值