前置芝士
在三角形中有一個廣為人知的“奔馳定理”
如圖，對於任意\(\Delta ABC\)內部一點\(O\)，都有\(S_{\Delta BOC} \cdot \overrightarrow{OA} + S_{\Delta AOC} \cdot \overrightarrow{OB} + S_{\Delta AOB} \cdot \overrightarrow{OC} = \vec{0}\)
下面給出其中一種較為暴力的證明方法：
以\(O\)點為坐標原點建立直角坐標系\(xOy\)，設\(A(x_{A},y_{A})\),\(B(x_{B},y_{B})\),\(C(x_{C},y_{C})\)
利用向量叉乘，表示出三個子三角形的面積：
\[S_{\Delta BOC}=\dfrac{\left|x_{B}y_{C}-y_{B}x_{C}\right|}{2} \]
\[S_{\Delta AOC}=\dfrac{\left|x_{A}y_{C}-y_{A}x_{C}\right|}{2} \]
\[S_{\Delta AOB}=\dfrac{\left|x_{A}y_{B}-y_{A}x_{B}\right|}{2} \]
代入需證明的式子中即得證
當\(O\)在\(\Delta ABC\)外部時同樣會得到一個變形，例如當\(O\)在\(BC\)異側時，有：
\[-S_{\Delta BOC} \cdot \overrightarrow{OA} + S_{\Delta AOC} \cdot \overrightarrow{OB} + S_{\Delta AOB} \cdot \overrightarrow{OC} = \vec{0} \]
證明方法相同，略
五種特殊情況
重心
因為\(S_{\Delta AOB}=S_{\Delta AOC}=S_{\Delta BOC}\)
所以
\[\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0} \]
外心
由於\(|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|\)
那么\(<\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}>=2\angle ACB , <\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}>=2\angle ABC , <\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}>=2\angle BAC\)
又因為有面積公式\(S_{\Delta}=\dfrac{1}{2}ab\sin C\)
則可以推出
\[\sin 2A \cdot \overrightarrow{OA} + \sin 2B \cdot \overrightarrow{OB} + \sin 2C \cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0} \]
內心
因為\(OD=OE=OF\)且\(OD \bot c , OE \bot b , OF \bot a\)
所以
\[a \cdot \overrightarrow{OA} + b \cdot \overrightarrow{OB} + c \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} \]
由正弦定理，可以將式子進一步變形：
\[\sin A \cdot \overrightarrow{OA} + \sin B \cdot \overrightarrow{OB} + \sin C \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} \]
垂心
觀察到\(|\overrightarrow{OA}|\cos \angle AOB = |\overrightarrow{OC}|\cos \angle BOC = -OE\)
所以
\[\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC} (\angle A , \angle B , \angle C \in [0,\pi]) \]
當\(\Delta ABC\)不是直角三角形時
注意到\(\dfrac{S_{\Delta AOB}}{S_{\Delta AOC}}=\dfrac{BF}{CF}=\dfrac{\tan C}{\tan B}\)，則\(S_{\Delta OBC} : S_{\Delta OAC} : S_{\Delta OAB} = \tan A : \tan B : \tan C\)
運用奔馳定理可獲得：
\[\tan A \cdot \overrightarrow{OA} + \tan B \cdot \overrightarrow{OB} + \tan C \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} (\angle A , \angle B , \angle C \neq \dfrac{\pi}{2}) \]
旁心
使用先前給出的奔馳定理變形,同理內心的情況
\[-a \cdot \overrightarrow{OA} + b \cdot \overrightarrow{OB} + c \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} \]
