1. 概述
三維空間中判斷點在三角形內外的算法與平面中有所不同，《平面中判斷點在三角形內算法(同向法)》中提到的算法在三維空間中已經無法生效，也很難利用上。一個最簡單的思路就是，獲取三角形的空間向量方程，判斷點是否能讓這個空間向量方程成立。
2. 詳論
2.1. 原理
在我的另外一篇文章《空間射線與三角形相交算法的兩種實現》中提到了三角形的空間向量方程。對於三個頂點為V0，V1，V2組成的空間三角形，對於三角形內的任一點P，有如下參數方程：
\[\vec{P} = (1 - u - v) \vec{V_0} + u \vec{V_1} + v \vec{V_2} \]
變換位置，有：
\[\vec{P} - \vec{V_0} = (\vec{V_0} - \vec{V_1}) u + (\vec{V_0} - \vec{V_2}) v \]
\[\vec{V_0P} = (\vec{V_0V_1}) u + (\vec{V_0V_2}) v \]
其中，u，v是未知的，而使用的向量是三維向量。顯然，這是一個超定方程組。求解這個方程組，如果解是矛盾的，說明點不在空間三角形內；否則，點可能在三角形上。
2.2. 實現
具體的C++代碼如下：
//空間三角形
//按照逆時針順序插入值並計算法向量
template <class T>
class Triangle
{
public:
Vec3<T> v0;
Vec3<T> v1;
Vec3<T> v2;
Vec3<T> vn;
Vec3<T> min;
Vec3<T> max;
Triangle()
{
}
Triangle(Vec3<T> v0, Vec3<T> v1, Vec3<T> v2)
{
this->v0 = v0;
this->v1 = v1;
this->v2 = v2;
}
void Set(Vec3<T> v0, Vec3<T> v1, Vec3<T> v2)
{
this->v0 = v0;
this->v1 = v1;
this->v2 = v2;
}
// 判斷點P是否在空間三角形內
bool PointInTriangle3D(Vec3<T>& P)
{
auto v0p = P - v0;
auto v0v1 = v1 - v0;
auto v0v2 = v2 - v0;
double D = v0v1.x() * v0v2.y() - v0v1.y() * v0v2.x();
if(D == 0.0)
{
return false;
}
double D1 = v0p.x() * v0v2.y() - v0p.y() * v0v2.x();
double D2 = v0v1.x() * v0p.y() - v0v1.y() * v0p.x();
double u = D1/D;
double v = D2/D;
double eps = v0v1.z() * u + v0v2.z() * v - P.z();
if(u >= 0 && v >= 0 && u + v <= 1 && abs(eps) < 0.000001)
{
return true;
}
return false;
}
這里采取的算法是，通過x，y分量組成的兩個方程式解出方程組的暫時u、v。然后將u、v帶入到z分量方程式，檢查能否保證z分量方程式成立。如果成立，且滿足三角形內部點方程的條件（u >= 0， v >= 0， u + v <= 1），說明點在空間三角形上，反之，點在空間三角形外。