前言
利用正余弦定理判斷三角形的個數的常用思路：
①代數法：從數的角度思考，根據大邊對大角的性質，三角形內角和公式，正弦函數值判斷；
②幾何圖形法，從形的角度思考，根據條件畫出圖形，通過圖形直觀判斷三角形的個數；
情形列舉
在\(\triangle ABC\)中，已知\(a，b，A\)，三角形的解的個數比較復雜，見下表
典例剖析
法1：代數法，由\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}\)，得到\(sinB=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，
故\(B=60^{\circ}\)或\(B=120^{\circ}\)，則對應的三角形有兩個，故選\(B\)；
法2：幾何圖形法，可仿例3完成，由於\(bsinA=\sqrt{3}\)，則\(bsinA<a<b\)，
故滿足條件的三角形有兩個。
法1：從形的角度，如圖所示，\(AD=20\sqrt{3}\)，當以點\(A\)為圓心，以\(20\)為半徑做圓時，
此時和角的另一邊\(CD\)沒有交點，故滿足題意的三角形是不存在的。
法2：從數的角度，如果這樣的三角形是存在的，那么由正弦定理可知，
\(\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)，得到\(sinB=\cfrac{bsinC}{c}=\sqrt{3}>1\)，
我們知道\(|sinx|\leq 1\)，故這樣的\(B\)不存在，即滿足題意的三角形不存在。
分析：這樣的題目我們一般是從形的角度入手分析的多見一些，因為畢竟有形的幫助要直觀的多。
如圖所示，由圖像可知\(CD=6\sqrt{3}\)，
當\(k\in(0，6\sqrt{3})\)時，滿足題意的三角形不存在；
當\(k=6\sqrt{3}\)時，滿足題意的三角形是唯一的，且是直角三角形。
當\(k\in(6\sqrt{3}，12)\)時，滿足題意的三角形是兩個。
當\(k=12\)時，滿足題意的三角形是一個，是等腰三角形。
當\(k>12\)時，滿足題意的三角形是一個。
【解后反思】1、學生對這類題目的掌握一般都不太好，不會作圖，不會應用圖像解決問題。
2、這類題目作圖的順序是這樣的，先做出\(\angle B\)，一條已知邊\(BC\)要么水平放置，要么斜放着，一般都是斜放着，此時點\(C\)就有了着落，這樣放置也便於求點\(C\)到下底邊上的高，然后以點\(C\)為圓心，以\(AC\)長為半徑畫弧，若所畫的弧與下底邊有交點，這個交點就是點\(A\)，有幾個交點就意味着有幾個三角形存在，若所畫的弧與下底邊沒有交點，則這樣的三角形是不存在的。
法1：從數的角度入手，由正弦定理\(\cfrac{k}{sinA}=\cfrac{12}{sin60^{\circ}}\)，
得到方程\(k=8\sqrt{3}sinA，A\in(0，\cfrac{2\pi}{3})\)有一個解，或者兩個函數圖像有一個交點，數形結合求解即可。
由圖可知，滿足題意的三角形恰有一個，則\(k\in(0，12]\)或\(k=8\sqrt{3}\)。
法2：從形的角度入手，動靜元素互相換位，即理解為讓長度為\(12\)的邊變化，讓長度為\(k\)的邊不變化。
如圖，以點\(C\)為圓心畫弧，當\(12\)小於點\(C\)到邊\(AB\)的高度\(k\times\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)時，
即\(k\times\cfrac{\sqrt{3}}{2}>12\)時，解得\(k>8\sqrt{3}\)，此時三角形是不存在的；
當\(12\)等於點\(C\)到邊\(AB\)的高度\(k\times\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)時，
即\(12=k\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，解得\(k=8\sqrt{3}\)，三角形是唯一的；
當\(12\)大於點\(C\)到邊\(AB\)的高度\(k\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)時，三角形是兩個的，
即\(12>k\times \cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，解得\(k<8\sqrt{3}\)；
當\(12\)大於或等於邊\(BC\)時，三角形是唯一的，即\(0<k\leqslant 12\)，
綜上可知，當\(k=8\sqrt{3}\)或\(k\in(0，12]\)時，滿足條件的三角形恰好只有一個。
【解后反思】①動靜互換，體現了思維的靈活性；②是否可以這樣想，有一種從形入手分析的思路，必然就會有一種從數入手的思路與之對應。