前言
但三角形的四心用文字語言表述時，許多學生還可以對付一陣，若換成向量形式的符號語言，則大多就啞口無言了，所以有必要將三角形四心的向量表示形式好好作以總結儲備。
三角形重心
- 重心：三角形的三條中線的交點。
- 命題一、已知\(O\)為\(\Delta ABC\)內的一點，若\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，則\(O\)是\(\Delta ABC\)的重心；
證明：必要性，由於\(O\)是\(\Delta ABC\)的重心，則線段\(AD、BE、CF\)為三角形的三條中線，
則有\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}=\cfrac{4}{3}\overrightarrow{AO}=-\cfrac{4}{3}\overrightarrow{OA}\)，
\(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BE}=\cfrac{4}{3}\overrightarrow{BO}=-\cfrac{4}{3}\overrightarrow{OB}\)，
\(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{CF}=\cfrac{4}{3}\overrightarrow{CO}=-\cfrac{4}{3}\overrightarrow{OC}\)，
故\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)\(=-\cfrac{4}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\)
\(=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}\)；
充分性，由\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，得到\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}\)，
又\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}\)，則\(-\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OD}\)，
故點\(A、O、D\)三點共線，且\(AD\)為三角形的一條中線；
同理，\(BE、CF\)為三角形的中線；故\(O\)是\(\Delta ABC\)的重心；證畢。
在具體題目中的應用形式舉例，如【2020寶雞市二檢理科第15題】已知點\(P\)為三角形\(\triangle ABC\)內部一點，且滿足\(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AP}\)，即\(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PA}=\vec{0}\)，故點\(P\)是三角形的重心。
- 命題二、\(O\)是\(\Delta ABC\)的重心，則\(S_{\Delta AOB}=S_{\Delta BOC}=S_{\Delta COA}\)；
證明：\(O\)是\(\Delta ABC\)的重心，令邊\(AB\)上的高線為\(h\)，
則\(S_{\Delta AOB}=\cfrac{1}{2}\cdot AB\cdot \cfrac{h}{3}=\cfrac{1}{3}S_{\Delta ABC}\)，
同理，\(S_{\Delta BOC}=\cfrac{1}{3}S_{\Delta ABC}\)，\(S_{\Delta AOC}=\cfrac{1}{3}S_{\Delta ABC}\)，
故\(S_{\Delta AOB}=S_{\Delta BOC}=S_{\Delta COA}\)；
- 命題三、已知\(D、E、F\)是\(\Delta ABC\)的邊\(BC、AC、AB\)的中點，則\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\vec{0}\)；
證明：已知\(D、E、F\)是\(\Delta ABC\)的邊\(BC、AC、AB\)的中點，\(O\)是\(\Delta ABC\)的重心，
則\(\overrightarrow{AD}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)，\(\overrightarrow{BE}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})\)，\(\overrightarrow{CF}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})\)，
故\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}\)\(=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}) =\vec{0}\)；
- 命題四、平行四邊形\(ABCD\)的中心是\(O\)，\(P\)為平面上任意一點，則\(\overrightarrow{PO}=\cfrac{1}{4}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD})\)；
證明：平行四邊形\(ABCD\)的中心是\(O\)，\(P\)為平面上任意一點，
則在\(\Delta PAC\)中，\(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PO}\)，在\(\Delta PBD\)中，\(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{PO}\)，
故\(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}\)\(=4\overrightarrow{PO}\)，
即\(\overrightarrow{PO}=\cfrac{1}{4}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD})\)；
三角形外心
- 外心：三角形的三條邊的中垂線交點，也是外接圓的圓心；
- 已知\(O\)為\(\Delta ABC\)內的一點，滿足\(|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|\)，則\(O\)是\(\Delta ABC\)的外心；
三角形垂心
- 垂心：三角形的三條邊的高線的交點。
- 命題一、已知\(O\)為\(\Delta ABC\)內的一點，滿足\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}\)，則\(O\)是\(\Delta ABC\)的垂心；
證明：由於\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}\)，則\(\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})=0\)，
即\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{CB}=0\)，則\(OA\perp BC\)，
同理可得\(OB\perp AC\)，\(OC\perp AB\)，故\(O\)是\(\Delta ABC\)的垂心；
- 命題二、已知\(O\)為\(\Delta ABC\)所在平面內的一點，且\(|\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{BC}|^2\)\(=|\overrightarrow{OB}|^2+\)\(|\overrightarrow{CA}|^2\)\(=|\overrightarrow{OC}|^2+\)\(|\overrightarrow{AB}|^2\)，則\(O\)是\(\Delta ABC\)的垂心；
三角形內心
- 內心：三角形的三個內角平分線的交點，也是內切圓的圓心；
- 命題一、\(O\)為\(\Delta ABC\)的內心的充要條件是
\(\overrightarrow{OA}\cdot(\cfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\cfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})\)\(= \overrightarrow{OB}\cdot(\cfrac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}-\cfrac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|})\)\(=\overrightarrow{OC}\cdot(\cfrac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}-\cfrac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|})=0\)
證明：充分性，如圖，向量\(\overrightarrow{AB}\)、\(\overrightarrow{AC}\)的單位向量分別是\(\overrightarrow{AE}\)、\(\overrightarrow{AD}\)，
則\(\Delta ADE\)為等腰三角形，
由\(\overrightarrow{OA}\cdot (\cfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\cfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})\)\(=\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD})\)\(=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{DE}=0\)，
故\(OA\)為\(\angle A\)的平分線；同理可得\(OB\)、\(OC\)分別為\(\angle B、\angle C\)的平分線；
故點\(O\)是\(\Delta ABC\)的內心。
必要性，由點\(O\)是\(\Delta ABC\)的內心，則可知\(OA\)為\(\angle A\)的平分線，
故容易知道\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{DE}=0\)，
即\(\overrightarrow{OA}\cdot(\cfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\cfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})=0\)，
同理可知$ \overrightarrow{OB}\cdot(\cfrac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}-\cfrac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|})$$=\overrightarrow{OC}\cdot(\cfrac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}-\cfrac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|})=0$，證畢。
-
命題二、記\(\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{BC}、\overrightarrow{CA}\)的單位向量為\(\vec{e_1}\)、\(\vec{e_2}\)、\(\vec{e_3}\)，則\(O\)為\(\Delta ABC\)的內心的充要條件是\(\overrightarrow{OA}\cdot (\vec{e_1}+\vec{e_3})=\overrightarrow{OB}\cdot (\vec{e_1}+\vec{e_2})=\overrightarrow{OC}\cdot (\vec{e_2}+\vec{e_3})=\vec{0}\)。
-
與向量\(\vec{a}\)共線的單位向量為兩個，\(\pm\cfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)；
解題經驗
在具體的題目求解中，關於多個向量的線性表示形式，其難點往往是其系數的恰當拆分。
已知\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AD}\)，則\(3\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}\)，則\(\overrightarrow{AD}=\cfrac{2}{3}\overrightarrow{AE}\)，可知點\(D\)為\(\triangle ABC\)的重心；