前言
但三角形的四心用文字语言表述时，许多学生还可以对付一阵，若换成向量形式的符号语言，则大多就哑口无言了，所以有必要将三角形四心的向量表示形式好好作以总结储备。
三角形重心
- 重心：三角形的三条中线的交点。
- 命题一、已知\(O\)为\(\Delta ABC\)内的一点，若\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，则\(O\)是\(\Delta ABC\)的重心；
证明：必要性，由于\(O\)是\(\Delta ABC\)的重心，则线段\(AD、BE、CF\)为三角形的三条中线，
则有\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}=\cfrac{4}{3}\overrightarrow{AO}=-\cfrac{4}{3}\overrightarrow{OA}\)，
\(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BE}=\cfrac{4}{3}\overrightarrow{BO}=-\cfrac{4}{3}\overrightarrow{OB}\)，
\(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{CF}=\cfrac{4}{3}\overrightarrow{CO}=-\cfrac{4}{3}\overrightarrow{OC}\)，
故\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)\(=-\cfrac{4}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\)
\(=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}\)；
充分性，由\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，得到\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}\)，
又\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}\)，则\(-\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OD}\)，
故点\(A、O、D\)三点共线，且\(AD\)为三角形的一条中线；
同理，\(BE、CF\)为三角形的中线；故\(O\)是\(\Delta ABC\)的重心；证毕。
在具体题目中的应用形式举例，如【2020宝鸡市二检理科第15题】已知点\(P\)为三角形\(\triangle ABC\)内部一点，且满足\(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AP}\)，即\(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PA}=\vec{0}\)，故点\(P\)是三角形的重心。
- 命题二、\(O\)是\(\Delta ABC\)的重心，则\(S_{\Delta AOB}=S_{\Delta BOC}=S_{\Delta COA}\)；
证明：\(O\)是\(\Delta ABC\)的重心，令边\(AB\)上的高线为\(h\)，
则\(S_{\Delta AOB}=\cfrac{1}{2}\cdot AB\cdot \cfrac{h}{3}=\cfrac{1}{3}S_{\Delta ABC}\)，
同理，\(S_{\Delta BOC}=\cfrac{1}{3}S_{\Delta ABC}\)，\(S_{\Delta AOC}=\cfrac{1}{3}S_{\Delta ABC}\)，
故\(S_{\Delta AOB}=S_{\Delta BOC}=S_{\Delta COA}\)；
- 命题三、已知\(D、E、F\)是\(\Delta ABC\)的边\(BC、AC、AB\)的中点，则\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\vec{0}\)；
证明：已知\(D、E、F\)是\(\Delta ABC\)的边\(BC、AC、AB\)的中点，\(O\)是\(\Delta ABC\)的重心，
则\(\overrightarrow{AD}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)，\(\overrightarrow{BE}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})\)，\(\overrightarrow{CF}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})\)，
故\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}\)\(=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}) =\vec{0}\)；
- 命题四、平行四边形\(ABCD\)的中心是\(O\)，\(P\)为平面上任意一点，则\(\overrightarrow{PO}=\cfrac{1}{4}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD})\)；
证明：平行四边形\(ABCD\)的中心是\(O\)，\(P\)为平面上任意一点，
则在\(\Delta PAC\)中，\(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PO}\)，在\(\Delta PBD\)中，\(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{PO}\)，
故\(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}\)\(=4\overrightarrow{PO}\)，
即\(\overrightarrow{PO}=\cfrac{1}{4}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD})\)；
三角形外心
- 外心：三角形的三条边的中垂线交点，也是外接圆的圆心；
- 已知\(O\)为\(\Delta ABC\)内的一点，满足\(|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|\)，则\(O\)是\(\Delta ABC\)的外心；
三角形垂心
- 垂心：三角形的三条边的高线的交点。
- 命题一、已知\(O\)为\(\Delta ABC\)内的一点，满足\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}\)，则\(O\)是\(\Delta ABC\)的垂心；
证明：由于\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}\)，则\(\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})=0\)，
即\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{CB}=0\)，则\(OA\perp BC\)，
同理可得\(OB\perp AC\)，\(OC\perp AB\)，故\(O\)是\(\Delta ABC\)的垂心；
- 命题二、已知\(O\)为\(\Delta ABC\)所在平面内的一点，且\(|\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{BC}|^2\)\(=|\overrightarrow{OB}|^2+\)\(|\overrightarrow{CA}|^2\)\(=|\overrightarrow{OC}|^2+\)\(|\overrightarrow{AB}|^2\)，则\(O\)是\(\Delta ABC\)的垂心；
三角形内心
- 内心：三角形的三个内角平分线的交点，也是内切圆的圆心；
- 命题一、\(O\)为\(\Delta ABC\)的内心的充要条件是
\(\overrightarrow{OA}\cdot(\cfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\cfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})\)\(= \overrightarrow{OB}\cdot(\cfrac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}-\cfrac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|})\)\(=\overrightarrow{OC}\cdot(\cfrac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}-\cfrac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|})=0\)
证明：充分性，如图，向量\(\overrightarrow{AB}\)、\(\overrightarrow{AC}\)的单位向量分别是\(\overrightarrow{AE}\)、\(\overrightarrow{AD}\)，
则\(\Delta ADE\)为等腰三角形，
由\(\overrightarrow{OA}\cdot (\cfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\cfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})\)\(=\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD})\)\(=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{DE}=0\)，
故\(OA\)为\(\angle A\)的平分线；同理可得\(OB\)、\(OC\)分别为\(\angle B、\angle C\)的平分线；
故点\(O\)是\(\Delta ABC\)的内心。
必要性，由点\(O\)是\(\Delta ABC\)的内心，则可知\(OA\)为\(\angle A\)的平分线，
故容易知道\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{DE}=0\)，
即\(\overrightarrow{OA}\cdot(\cfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\cfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})=0\)，
同理可知$ \overrightarrow{OB}\cdot(\cfrac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}-\cfrac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|})$$=\overrightarrow{OC}\cdot(\cfrac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}-\cfrac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|})=0$，证毕。
-
命题二、记\(\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{BC}、\overrightarrow{CA}\)的单位向量为\(\vec{e_1}\)、\(\vec{e_2}\)、\(\vec{e_3}\)，则\(O\)为\(\Delta ABC\)的内心的充要条件是\(\overrightarrow{OA}\cdot (\vec{e_1}+\vec{e_3})=\overrightarrow{OB}\cdot (\vec{e_1}+\vec{e_2})=\overrightarrow{OC}\cdot (\vec{e_2}+\vec{e_3})=\vec{0}\)。
-
与向量\(\vec{a}\)共线的单位向量为两个，\(\pm\cfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)；
解题经验
在具体的题目求解中，关于多个向量的线性表示形式，其难点往往是其系数的恰当拆分。
已知\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AD}\)，则\(3\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}\)，则\(\overrightarrow{AD}=\cfrac{2}{3}\overrightarrow{AE}\)，可知点\(D\)为\(\triangle ABC\)的重心；