三角形的五心

本文轉載自查看原文 2019-07-20 13:04 393 數學/ 幾何

概述
1. 三角形的五心包括重心、垂心、外心、內心和旁心，是解決三角形問題的一種工具，也是一種研究對象。
2. 前置知識：三角形等積變換、軸對稱、相似、圓
內容
1. 重心
  1. 重心的概念
    1. 三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形的內部
      
      如圖，G為△ABC的重心
  2. 重心的性質
    1. 基本性質
      1. 三角形重心與頂點的距離等於它與對應中點的距離的兩倍，即$\displaystyle \frac{AG}{GD}=\frac{BG}{GE}=\frac{CG}{GF}=2$
      2. 證明1
        
        由共邊定理得
        
        由蝴蝶定理得
        
        於是有
        
        由共邊定理得$\frac{AG}{DG}=\frac{\triangle ACG}{\triangle CDG}=2$
        
        同理可推得其他邊的關系
      3. 證明2
        
        連接$DE$，由中位線得平行，得八字模型，由相似和中位線$\frac{1}{2}$得$2$倍
    2. 推論1
      1. 設$G$是$\triangle ABC$中一點，若$S_{\triangle ABG}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，則$G$為$\triangle ABC$的重心
        
        證明
        
        由共邊定理（燕尾模型）得$\frac{BD}{CD}=\frac{S_{\triangle ABG}}{S_{\triangle ACG}}=1$，即$G$為$\triangle ABC$中點
        
        同理可證其他中點
    3. 推論2
      1. $G$為$\triangle ABCD$的重心，若$AG^2+BG^2=CG^2$，則$AD ⊥ BE$
        
        證明
        
        倍長中線，得平行且$MG=CG，AG=BM$，所以$\angle MBG = 90^{\circ}$
      2. $G$為$\triangle ABCD$的重心，若$AD ⊥ BE$，則$AG^2+BG^2=CG^2$
        
        證明
        
        由垂直得勾股關系，又由直角三角形斜邊中線定理得$AB=CG$，即可得證
    4. 推論3
      1. $G$為$\triangle ABC$中點，過$G$作$DE ∥BC$，$PF∥AC$，$KH∥AB$，則$frac{DE}{BC}=\frac{FP}{CA}=\frac{KH}{AB}=\frac{2}{3}$
        
        證明
        
        連AG並延長至M交BC於M，則M為BC中點
        
        由$DG∥CB$得$\frac{AD}{AB}=\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$
        
        由相似得$frac{DE}{BC}=\frac{FP}{CA}=\frac{KH}{AB}$
    5. 推論4
      1. G為邊長為$a$的等邊三角形ABC的中點，則$GA=GB=GC=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
        
        證明
        
        等邊三角形四心合一點，得$△ABG$為$30°、30°、120°$型三角形，邊之比為$1:1:\sqrt{3}$，故$GA=\frac{AB}{sqrt{3}}$
2. 垂心
3. 外心
4. 內心
5. 旁心