勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。在中國，商朝時期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出並證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。相傳畢達哥拉斯所在的學校為了慶祝他證明了這個定理，特意舉行了一個盛大的宴會，吃掉了一百頭牛，所以西方也戲稱該定理為“百牛定理”。
關於定理的證明有很多種，下面介紹幾何原本中的畢達哥拉斯證明方法。
如圖所示，假設直角三角形的直角邊和斜邊分別是a、b和c。
圖中外面大的正方形邊長為a+b， 內部是四個全等的、邊長為a、b和C的直角三角形，以及一個邊長為c的正方形。外面正方形的面積為：
$$ (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab $$
內部四個直角三角形和正方形的面積之和為：
$$ c^2+2ab $$
由於同一個正方形(外面的)的面積一定相等，因此：
$$ a^2+b^2+2ab = c^2+2ab $$
即:
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$