本原勾股數組（PPT)是一個三元組（a，b，c),其中a，b，c無公因數，且滿足a² +b² =c²。
很明顯存在無窮多個勾股數組（abc同乘以n），下面研究abc沒有公因數的情況，先寫出一些本原勾股數組：
case:(3,4,5) (5,12,13) (8,15,17) (7,24,25) (20,21,29)(9,40,41)(12,35,37)(11,60,61)(28,45,53) (33,56,65) (16,63,65)
觀察可以看出a，b奇偶性不同且c總是奇數。（用一點技巧可以證明這是正確的）
另外：
3² = 5² - 4² = (5-4)(5+4) = 1 × 9
15² = 17²-8² = (17-8)(17+8) = 9 ×25
35² = 37² - 12² = (37-12)(37+12) = 25 ×49
......
很神奇的是似乎c-b與c+b總是平方數，並且c-b與c+b木有公因數。證明一下下：假設有公因數，設d是c-b與c+b的公因數，則d也整除(c+b)+(c-b)=2c, (c+b)-(c-b) = 2b,所以d整除2c，2b，但是b，c木有公因數，又假設了（a，b，c)是本原勾股數組，從而d等於1或2，又因為d整除（c-b)(c+b)=a².a²是奇數，所以d = 1，c-b與c+b木有公因數。，又因為（c-b)(c+b)=a²,所以c-b與c+b的積是平方數，只有二者都是平方數才會出現（可以把二者分解成素數乘積直觀地看出），令c+b = s²，c-b=t²，解得
c=（s²+t²)/2, b=(s²-t²)/2,a = √(c-b)(c+b) = st.這就得出了勾股數組定理：
每個本原勾股數組（a，b，c）(a為奇數，b偶數）都可由如下公式得出：a=st，b=（s²-t²）/2, c = (s²+t²)/2, 其中s>t>=1是沒有公因數的奇數。
當取t=1時就可以得到上面的許多例子。