數據結構——稀疏矩陣三元組表示法+算法詳解

（1）、目的：對於在實際問題中出現的大型的稀疏矩陣，若用常規分配方法在計算機中儲存，將會產生大量的內存浪費，而且在訪問和操作的時候也會造成大量時間上的浪費，為了解決這一問題，從而善生了多種解決方案。

（2）、由於其自身的稀疏特性，通過壓縮可以大大節省稀疏矩陣的內存代價。具體操作是：將非零元素所在的行、列以及它的值構成一個三元組（i,j,v），然后再按某種規律存儲這些三元組，這種方法可以節約存儲空間。

具體如下圖：

#define SMAX 1000
typedef struct
{
    int i,j;     //儲存非零元素的行和列信息
    ElementType e; //非零元素的值
} Triple;       //定義三元組類型
typedef struct
{
    int mu,nu,tu; //矩陣的行、列和非零元素的個數
    Triple data[SMAX]; //三元組表
} TSMatrix；

注意：為更可靠描述，通常再加一個“總體”信息：即總行數、總列數、非零元素總個數。

 

用常規的二維數組表示時的算法：

for (col=1; col<=nu; ++col)
{
    for (row=1; row<=mu; ++row)
    {
        T[col][row] = M[row][col];
    }
}

其時間復雜度為: O(mu×nu)

 

用三元組表示如何實現呢？

 

 

 

解決思路：只要做到
將矩陣行、列維數互換
將每個三元組中的i和j相互調換
重排三元組次序，使mb中元素以N的行(M的列) 為主序

 

方法一：按列序轉置

即按mb中三元組次序依次在ma中找到相應的三元組進行轉置。為找到M中每一列所有非零元素，需對其三元組表ma從第一行起掃描一遍。由於ma中以M行序為主序,所以由此得到的恰是mb中應有的順序。

void TransposeTSMatrix(TSMatrix  A,  TSMatrix  * B)
{
    /*求矩陣A的轉置矩陣B，矩陣用三元組表表示*/
    int  p,q, k ;
    B->mu= A.nu ;
    B->nu= A.mu ;
    B->tu= A.tu ;
    if(B->tu)///整個矩陣非零元素的個數不為0
    {
        q=1;
        for(k=1; k<=A.nu; k++)///遍歷A矩陣的列數
        {
            for(p=1; p<=A.tu; p++)///遍歷矩陣A的三元組
            {
                if(A.data[p].j==k)///矩陣的列與三元組的列對應
                {
                    B->data[q].i=A.data[p].j;
                    B->data[q].j=A.data[p].i;
                    B->data[q].e=A.data[p].e;
                    q++;
                }
            }
        }
    }
}

 

時間復雜度：O（nu*tu)

方法二：快速轉置

即按ma中三元組次序轉置，轉置結果放入b中恰當位置
此法關鍵是要預先確定M中每一列第一個非零元在mb中位置，
為確定這些位置，轉置前應先求得M的每一列中非零元個數

實現：設兩個數組

num[col]：表示矩陣M中第col列中非零元個數
cpot[col]：指示M中第col列第一個非零元在mb中位置

 

其中：

cpot[1]=1;

cpot[col]=cpot[col-1]+num[col-1]; (2<=col <=ma[0].j)

 

 

 

 

 

 

 

FastTransposeTSMatrix (TSMatrix  A,  TSMatrix  * B)
{
    /*基於矩陣的三元組表示，采用快速轉置法，求矩陣A的轉置矩陣B */
    int col,t,p,q;
    int num[MAXSIZE+1];///A每一列中非零元素的個數
    int cpot[MAXSIZE+1];///A每一列中第一個非零元素在B中的位置
    B->tu= A.tu ;
    B->nu= A.mu ;
    B->mu= A.nu ;
    if(B->tu)
    {
        for(col=1; col<=A.nu; col++)///初始化
        {
            num[col]=0;
        }
        for(t=1; t<=A.tu; t++)
        {
            num[A.data[t].j]++; /*計算每一列的非零元素的個數*/
        }
        cpot[1]=1;
        for(col=2; col<=A.nu; col++)
        {
            /*求col列中第一個非零元素在B->data[ ]中的正確位置*/
            cpot[col]= cpot[col-1]+num[col-1];
        }
        for(p=1; p<=A.tu; p++)///遍歷三元組A
        {
            col=A.data[p].j;///col記錄當前所處的列
            q=cpot[col];///q代表每一列第一個非零元素
            B->data[q].i=A.data[p].j;
            B->data[q].j=A.data[p].i;
            B->data[q].e=A.data[p].e;
            cpot[col]++;
            ///將A中每一列的第一個元素定位確定后，若這一列之后還有的元素那位置必然在第一個元素對應三元組位置的后面
        } 
    } 
}