前置芝士
小學數學
寫在前面
Q：啥叫飛鼠定理啊？
A：是斐蜀定理（捂臉
在數論中，裴蜀定理是一個關於最大公約數(或最大公約式)的定理--360百科
Q：說的啥啊？
1、對於正整數 \(a, b\) 存在整數 \(x, y\) 使得 \(\gcd(a, b) = ax +by\)
2、整數 \(a, b\) 互質的充要條件是存在整數 \(x, y\) 使得 \(ax + by = 1\)
簡單來說，我們設 \(d = \gcd(a, b)\)，那么對於方程 \(ax + by = d\) ，一定存在一組整數解。並且對於方程 \(ax + by = z\)，如果滿足 \(d \mid z\)，那么方程一定有整數解，否則無整數解。
（注：這里 \(d \mid z\) 的意思是 \(z \mod d = 0\)）
對於第一個推論的證明：
已知非零整數 \(a, b\)
記集合 \(S = \{ ax + by \mid x, y \in \mathbb{Z} 且 ax + by > 0\}\)
記整數 \(d = ax_0 + by_0\)
我們只要證明 \(d = \gcd(a, b)\) 就證明了斐蜀定理，
設 \(a = dq + r\), 其中 \(q, r\) 是 \(a\) 模 \(d\) 的商和余數，則有
因為我們用到的都是整數，所以不難看出 \(1 - x_0q\) 和 \(y_0q\) 也都是整數
所以 \(r \in S \cup \{ 0 \}\) ，（為啥要並上 \(0\) 尼？因為 \(r\) 表示余數，余數可以為 \(0\) 嘛）
我們又知道 \(0 \leqslant r < d\)，而 \(d\) 又是 \(S\) 中的最小元素，所以 \(r = 0\)
這意味着 \(d \mid a\)， 同理 \(d \mid b\)，又因為 \(\gcd(a, b) \mid d\) ，所以 \(d = \gcd(a, b)\)
證畢。
另外的，由集合 \(S\) 可以看出 \(x, y\) 的解不是唯一的，有無窮組系數 \((x, y)\) 都能滿足 \(\gcd(a, b) = ax + by\).並且，如果 \((x, y)\) 是一組系數，那么所有系數可以表示為
對於第二個推論的證明：
再抄一遍
整數 \(a, b\) 互質的充要條件是存在整數 \(x, y\) 使得 \(ax + by = 1\)
利用反證法，
設 \(a, b\) 不互質，那么 \(a, b\) 可以表示成 \(a = q \times \gcd(a, b), b = p \times \gcd(a, b)\)，帶入上面的式子，得到：
兩邊同時除以 \(\gcd(a,b)\) 得到：
顯然，如果 \(a, b\) 不互質，那么式子右邊已經變成了一個小數，那么方程一定不存在整數解。所以只有當 \(a, b\) 互質時，該方程才有整數解.
證畢。
順便我們可以得到：
對於方程 \(ax + by = z\), 只有滿足 \(\gcd(a, b) \mid z\) ，方程才有整數解
證明：
設 \(d = \gcd(a, b), z = d \times q\)
對於方程 \(ax + by = d\) , 我們設有一組解為 \(x_0, y_0\), 那么就有：
兩邊同時乘 \(q\) 得：
\(\because z = d \times q\)
\(\therefore\) 方程 \(ax + by = z\) ，一定存在一組整數解為 \(x = x_0 \times q, y = y_0 \times q\) , 證畢
按照同樣的思路可以擴展到 \(n\) 元不定方程上
對於不定方程 \(a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + … +a_nx_n = 1\)，只有所有系數的 \(\gcd\) 為 \(1\) 時，方程才有整數解。
順便得到
所有系數 \(a_1, a_2, a_3 ,···,a_n\) 的最大公約數為 \(1\) 的充要條件是：滿足不定方程 \(a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + … +a_nx_n = 1\)