數論學習_裴蜀定理

在數論中，裴蜀等式或裴蜀定理是一個關於最大公約數（或最大公約式）的定理。裴蜀定理得名於法國數學家艾蒂安·裴蜀，說明了對任何整數a、b和它們的最大公約數d，關於未知數x和y的線性丟番圖方程（稱為裴蜀等式）：

 

ax+by=ax+by=m

有整數解時當且僅當m是d的倍數。裴蜀等式有解時必然有無窮多個整數解，每組解x、y都稱為裴蜀數，可用擴展歐幾里得算法求得。 
例如，12和42的最大公約數是6，則方程12x+42y=6有解。事實上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。特別來說，方程 ax+by=1 有整數解當且僅當整數a和b互素。

 

可以將其推廣到多個數，也成立。

n個整數間的裴蜀定理

編輯

設a1,a2,a3......an為n個整數，d是它們的最大公約數，那么存在整數x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=d。

特別來說，如果a1...an互質（不是兩兩互質），那么存在整數x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=1。證法類似兩個數的情況。