數論四大定理

威爾遜定理

概念

p可整除(p-1)!+1是p為質數的充要條件

 

歐拉定理

概念

歐拉定理，也稱費馬-歐拉定理。

若n,a為正整數，且n,a互素，即  gcd(a,n) = 1，則  a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

 

擴展歐拉定理

概念

 

費馬小定理

概念

若 n 是質數，a%n !=0，則   a^(n-1) ≡1（mod n）;

　　　　　　a%n ==0，則   a^(n-1) ≡0（mod n)

若 n 是質數，gcd(a,n) =1，a^φ(n) =n-1，則 a^(n-1)≡0（mod n)

 

 孫子定理

概念

• 模數互質時

求滿足 n%A=a && n%B=b 的數

則 n = ( k1*B*a + k2*A*b )% lcm( A,B ) + m * lcm( A,B );　　// k1*B%A = k2*A%B = 1;

此時，顯然可得，n%A=a && n%B=b ;

 

推廣一下：

設 Gi=∏(A...) /Ai;

n = ∑(ki*Gi*gi) %lcm(A...) +m*lcm(A...);　　//Gi*gi%Ai = 1;

 

 

•  模數不互質時（擴展孫子定理）

求滿足 n%A=a && n%B=b 的最小正整數

則 k1*A+a=k2*B+b

即 k1*A-k2*B=b-a

可用擴展歐幾里得求得 k1、k2

進而求得前兩個方程的  特解 x0=k1*A+a（注意正負號）,  通解 x=x0+k*lcm(A, B) 

方程數大於2時，可以順推，執行同樣的過程。

 

 

 

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附：三大定理的證明（定理的引用參考《初等數論及其應用》）

作者：synapse7
來源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/synapse7/article/details/19610361

 

一、威爾遜定理

(PS:在利用定理4.10時，僅需用到a^-1的存在性；證明中的“只有”二字要用定理4.11中的“唯一性”)

 

二、歐拉定理

證明前，我們先定義一個概念：

 

三、費馬小定理

重申一遍，gcd(a,p)=1