初等數論四大基本定理

 呵呵，我又來了，好久沒寫日志了，啦啦啦……
    以前說過的，這次帶來……好吧，如題。先從自認為簡單些的開始吧。

    ①威爾遜定理

        這個定理是說，對於任意自然數q，當且僅當q是質數時，(q-1)!≡q-1(mod q)；
        那么，怎么證明咧？
            首先，如果q不是質數，而且q大於4，那一定存在q=0(mod p),q=0(mod q/p) 1<p<q，那么(q-1)!=0(mod q)
            然后，當q是質數時，我們可以構造集合A={1,2,3,4……n-1}，對於集合中除1和n-1外的任意數x，集合中必定唯一存在y，使xy=1(mod q)（其實就是y是x的數論倒數），那集合中除1和n-1外的數都可兩兩配對，使最后的乘積為1(mod q)，於是乎，再乘上1和n-1，得到(q-1)!=q-1(mod q)；
            還有問題，上面說的對於每個x，存在xy=1(mod q)，又怎么證明咧？因為q是質數，x與q互質，構造集合{x，2x，3x……qx}，所以該集合一定是對於模q的一個縮系(即任意兩個數不對模q同余，從而模q后形成q的剩余系)，又因為qx=0(mod q)，所以一定唯一存在y(1<y<q)，使xy=1(mod q)。

            唔，然后就證完了！

    ②中國剩余定理

        聽名字就蠻自豪的，這貨是用來解同余方程的說；
            首先，對於同余方程x=ai(mod mi)(1≤i≤n)，且各個mi互質，我們定義M=m1Xm2Xm3……Xmn，以及qi=M/mi，設ti為qi對於模mi的數論倒數(前面說過的)，那么x=a1*t1*q1+a2*t2*q2+……+an*tn*qn+kM(k為任意整數)。

        然后就是證明了：
             先把等一下要用的東西寫出來：

　　　　　　因為ti*qi=1(mod mi)，所以ai*ti*qi=ai(mod mi)；
　　　　　　因為qi是任意mj(i≠j)的倍數，所以ai*ti*qi=0(mod mj)；
             好了，然后開證了：對於每個mi，x=a1*t1*q1+a2*t2*q2+……+an*tn*qn=ai*ti*qi+a1*t1*q1+a2*t2*q2+……+an*tn*qn；之后
        對於模mi可得x=ai+0+0……+0=ai(mod mi)，滿足條件，然后再加個kM(這個可以理解吧)，得證啦！

    ③費馬小定理

        注意，是小定理，不是費馬大定理哦！它告訴我們假如p是質數，且gcd(a,p)=1(就是互質)，那么a ^(p-1)≡1(mod p)；
        證明來了(略苦逼的說)：
            構造集合P={1,2……,p-1}，由於p與a互質，那么對於另一個集合A={a,2a……a(p-1)}，是p的一個縮系，這個前面說過，這里具體證明一下，如果存在ai=aj(mod p)，那么ai-aj=a(i-j)=0(mod p)，因為a與p互質，可得i-j=0(mod p)!，與題意不符！
            然后1*2*3……*(p-1)=a*2a*3a……an(mod p)，於是(p-1)!=(p-1)!*a ^(p-1) (mod p)，因為(p-1)!與p互質，約去(p-1)!
            得證：a ^(p-1)≡1(mod p)。

    ④歐拉定理

            費馬小定理事實上是歐拉定理的一種特殊情況，歐拉定理是說若p,a為正整數，且p,a互質，則a ^φ(p)≡1(mod p)，證明我就不詳述了， 用費馬小定理的證明改一下就好了啦，就是這樣！又偷懶了……