數學的主題是數和形，它們是最基礎、最久遠的數學概念。克羅內克說過：“上帝創造了自然數，其它都是人的作品”，所以我們選擇從數開始說起。數論（Number Theory）專門研究自然數（或整數），這個看似無意義的智力游戲，其實不光是數學家們的思維樂園，它更是孕育新思想、新方法的肥沃土壤。即使我們已經有了耀眼的成就，卻好像還不曾見過她的真面目，在其簡單的外表下，總有不為人知的深邃。高斯曾經說過：“數學是科學的皇后，而數論則是數學的皇后”，不管你覺得數論“有用”與否，她至高無上的威嚴是無法撼動的。
數論最開始的稱號就是我們所熟悉的算術，在古希臘時期就有了初步的發展。歐幾里得的《幾何原本》中就有了一些經典的結論，比如素數有無窮多個，還有大家熟悉的輾轉相除法。包括同時期的素數篩選法，對后來的數論研究都很有啟發性。古希臘末期的丟潘圖唯獨偏愛不定方程，所著的《算術》對數進行了超乎想象的討論。也正是這本書，為今后的數論埋下了神奇的種子。當歐洲文明在中世紀進入漫長的沉寂時，中國數學界卻異常地活躍，主要的數學著作中有很多是數論相關的。只可惜中國人不善於將方法轉化成理論，從而也就止於各種方法技巧，並未得到比較深刻的理論體系。
文藝復興時期，數論迎來了它短暫的萌芽。百無聊賴的律師費馬，將他的所有業余時間都花在了科學上（主要是數學），而丟潘圖的《算術》更是讓他深深地陷入了數論的泥潭。僅靠他在書頁空白處的筆記，就已經得出了豐富而深刻的結論以及各種奇妙的方法，著名的費馬猜想更是足足困擾了后人三百多年。十七、十八世紀是分析學的天下，所有學科都在微積分陰影的籠罩之下。然而全能王歐拉憑借其超人的才華，得到了更多數論方面的深刻結論，並開始挖向了解析數論的寶藏。
Fermat（1601 - 1665） Euler（1707 - 1783） Gauss（1777 - 1855）
至此，數論已經有了非常豐富的結論，但缺乏一個完整的理論體系，這也限制了它進一步的發展。高斯的《算術研究》集前人的成就於一體，提出了同余理論並擴展了整數的概念，為代數數論提供了理論儲備。尤其是得到了被稱為“數論之酵母”的二次互反律，一下子將數論帶進了嶄新的鄰域。《算術研究》標志着數論作為一個學科的建立，並直接將其帶入了現代意義的數論。
接下來，沿着解析數論和代數數論兩個不同的方向，數論在現代數學的道路上飛奔。當與近代最尖端的代數幾何相結合時，數論步入了其最深刻的階段，這就是當今的“算術代數幾何”（注意！這是一門學科）。同時，數論還擺脫了以往純數學的帽子，延伸出了多個應用分支，包括編碼學、計算數論、組合數論等，這門古老的學科終於開始服務大眾了。
也許沒有一個學科像數論這樣，在理論數學、應用數學甚至娛樂數學中都扮演者重要的角色。令人欣慰的是，只要有小學數學的知識，我們就可以開始這段旅程。前方的路坎坷而漫長，也許我們進不了那最終的聖殿，但如果能欣賞到了路邊的風景，其實也就足夠了。當然還是要冷靜地提醒你，這里只是初等數論，僅僅包含了整除、同余、不定方程等最基礎的數論概念。在學會奔跑之前，先要學會爬行，那就讓我們從這里開始匍匐前進……
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【前序學科】 實數系統
【參考資料】
[1] 《初等數論》（3rd），潘承洞，2013
國內最好、使用最廣泛的初等數論教材，注重思想和理論體系的建立。結構清晰合理，表述嚴格精准。大量的習題不僅能鞏固知識，還具有啟發性和挑戰性，可以看作是教材的延伸部分。
[2] 《數論導引》，華羅庚，1957
不得不說是國內的一部經典教材，它深刻而廣泛地介紹了當時數論的各個分支。語言簡練，結構清晰，但內容卻極其豐富。因為年代久遠，專業名詞還未統一，所以讀起來會稍微不暢。
[3] 《初等數論》（3rd），閔嗣鶴，2003
表述簡潔卻不失精准，內容組織合理精巧，難度恰當，非常適合初學者。如果你只是想了解初等數論的基本思想，但又不要過於膚淺，可以從這本書看起。
[4] 《初等數論》，於秀源，2002
不錯的入門書籍，內容平實，但例題比較新奇，難度不大卻較有趣。
[5] 《初等數論（I,II,III）》，陳景潤，2012
內容非常初等，適合只有初中基礎的人學習。而且有很多趣味數學的內容，整體感覺是套科普書。
[6] 《初等數論及其應用》，閻滿富，1999
比較普通，不是很看重理論的建立，有點奧數的傾向。內容淺顯，中學生搞奧數的可看看。
[7] 《初等數論難題集（I）》，劉培傑，2009
初等數論的奧數習題集，題量巨大，難度不低，作者欲出3卷，還未出完。數論習題不僅對奧數和數論本身有利，更是整個數學思維不可或缺的一部分。我暫時還沒有時間做，先收藏並推薦！
[8] 《初等數論100例》，柯召，2011
一本習題集小冊子，可作練習用。大部分問題只用到整除和同余的概念，搞奧數的可以做一做。
[9] 《數論妙趣--數學女王的盛情款待》，H.貝勒，2000
收集了歷史上大量初等數論的趣味故事和問題，以及對問題的各種解法，其中也夾雜一些初等數論的重要結論。作者參考了大量的著作，可作為趣味數論的參考資料，也可以用作數論算法的參考書。
[10] 《談談素數》，王元，1978
關於素數的一個科普小冊子，前半部分較初等，入門可讀，后半部分屬高級內容，讀來消遣也不錯。
[11] 《A Introduction to The Theory of Numbers》（6th），G.H.Hardy，2008
經典巨著，涵蓋了數論的大部分重要內容和結論。內容緊湊，材料豐富，既有基礎定義和結論，也有大量的擴展材料。
[12] 《A Friendly Introduction to Number Theory》（3rd），J.H.Silverman，2005
非常棒的入門書籍，寫作方法清新流暢，可讀性強。集科普與入門於一體，為非專業人士而寫，工科生可以先從這一本看起。
[13] 《Elementary Number Theory》（7th），D.M.Burton，2010
[14] 《Elementary Number Theory》（2nd），U.Dudley，2008
[15] 《Elementary Number Theory with Applications》（2nd），T.Koshy，2007
[16] 《Elementary Number Theory and Its Applications》（6th），K.H.Rosen，2010
幾本不錯的英文版入門書，內容比較基礎但很豐富，偏應用。