數論
第一章：整除理論
(2)整除的基本知識
定義1：
設 a,b ∈ Z , a ≠ 0，如果存在 q ∈ Z , 使得 b=aq，那么就說 b 可被 a 整除，記作 b | a，且稱 b 是 a 的倍數，
a 是 b 的約數。
定理1：
a | b <=> -a | b <=> a | -b <=> |a| | |b|。
(3)帶余數除法
定理1：
設 a,b 是兩個給定的整數，a ≠ 0，那么一定存在唯一的一對整數 q 與 r，滿足
b = aq + r，0 ≤ r < |a|。
定理2：
設 a,b 是兩個給定的整數，a ≠ 0，再設 d 是一給定的整數，那么一定存在唯一的一對整數 q 與 r，滿足
b = aq + r，d ≤ r < |a|+d。
(4)最大公約數理論
定理5：
設 GCD(m,a) = 1，則有 GCD(m,ab) = GCD(m,b)，這就是說“求 m 與另一個數的最大公約數時，可以把另一個數中與 m 互素的因數去掉”。
定理6：
設 GCD(m,a) = 1，那么若 m | ab，則 m | b，這就是說“若一個數被 m 整除，則把這個數中與 m 互素的因數去掉后仍被 m 整除”。
定理7：
LCM[ a,b ] × GCD(a,b) = |ab|。
定理8：
GCD(a,b) = GCD(a,b-a) = GCD(b,b-a)。
相關習題：戳這里👉
(5)最大公約數與最小公倍數
(a,b) = a 與 b 的最大公約數。
[a,b] = a 與 b 的最小公倍數。
定理1：
GCD(a,b) = GCD(-a,b) = GCD(a,-b) = GCD( |a| , |b| )。
定理2：
LCM[a,b] = LCM[-a,b] = LCM[a,-b] = LCM[ |a| , |b| ]。
第三章：同余的基本知識
(1)同余的定義及基本性質
定義1：
設 m ≠ 0，若 m | a-b，即 a-b = km，則稱 m 為模，a 同余於 b 模 m ，b 是 a 對模 m 的剩余，記作
a ≡ b (mod m)；
因為 m | a-b = (-m) | a-b，所以以后總假設 m ≥ 1。
性質1：
· a+c ≡ b+c (mod m)；
· a-c ≡ b-c (mod m)；
· a*c ≡ b*c (mod m)；
性質2：
如果 ac ≡ bc (mod m) 那么 a ≡ b (mod m div GCD(m,c) )。
證明如下：
由同余定理，模運算規則如下：
(2)同余類與剩余系
定義1（同余類或剩余類）：
把全體整數分成這樣的若干個兩兩不相交的集合，使得在同一個集合中的任意兩個數對模m 一定同余；
而屬於不同集合中的兩個數對模m一定不同余；
每一個這樣的集合稱為模m的同余類或模m的剩余類；
例如：模3的同余類有
{0,3,6,...,3*k},{1,4,7,....,3*k+1},{2,5,8,.....3*k+2}
我們以 r mod m 表示 r 所屬的模m的同余類；
例如上例，如果 r = 0，那么 r 所屬的模m的同余類為{0,3,6,...,3*k}；
定義2（完全剩余系）：
一組數 y1,y2,.....ym 稱為模 m 的完全剩余系，當且僅當對任意的整數 a 有且僅有一個 yj 使得同余式a ≡ yj (mod m)成立。
簡言之，對於任意 i,j ∈ [1,m],且 i ≠ j，有 m%yi ≠ m%yj。
從模m的每個同余類中各挑一個元素組成的集合就是模m的完全剩余系。
{0,1,2,.....,m-1}是最簡單的一個模m的完全剩余系；
定義3（既約（或互素）同（剩）余類）：
在模m的同余類 r mod m 中，如果GCD(r,m) == 1，就稱 r mod m 為模m的既約同余類；
模m的所有既約同余類的個數記作φ(m)，通常稱為Euler函數。
定義4（既約（互素）剩余系）：
模 m 的既約剩余系是 m 的完全剩余系中與 m 互素的數構成的子集；
易得，模 m 的既約剩余系中的元素的個數為 φ(m)。
例如， m = 10，m的一個完全剩余系為{0,1,2,......,9}，其中與10互素的數組成的集合為 { 1,3,7,9 } ，並且任何兩個元素模 10 不同余，；
{ 1,3,7,9 } 就為模 m 的一個既約剩余系，φ(10) = 4。
定理4：
設 m1 | m，那么對任意 r 有
r mod m ⊆ r mod m1;
定理4證明
定理4'：
設 m1 | m，那么對任意 r，同余式 n ≡ r(mod m1) 成立的充要條件是以下 d=m/m1 個同余式
n ≡ r + j*m1(mod m);( j∈[0,d-1])
有且僅有一個成立。
定理4'證明
定理6：
模m的所有不同的既約同余類是
r mod m , GCD(r,m) = 1, 1≤ r ≤ m;
φ(m)=1,2,...,m 中和m既約的數的個數。
定理7：
（1）在任意取定的 φ(m)+1 個均和 m 既約的整數中，必有兩個數對模m同余。
（2）存在φ(m)個數兩兩對模m不同余且均和m既約。
(3)Euler函數φ(m)的求解
定理1：如果 k 為素數，那么 φ(k) = k-1