數論基礎，歐幾里得定理

//$LaTeX$ 炸了（可能是我不會用），將就看吧

定理 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

證明

設 $c=gcd(a,b)$ ，那么 $a$ 可以表示為 $mc$ ， $b$ 可以表示為 $nc$ 的形式。然后令 $a=kb+r$ ，那么我們就只需要證明 $gcd(b,r)=c$ 即可。

$∵r=a−kb=mc−knc$ ， $∴gcd(b,r)=gcd(nc,mc−knc)=gcd(nc,(m−kn)c)$ ，所以我們只需要證 $gcd(n,m−kn)=1$ 即可。

設 $n=xd,m−kn=yd$，那么 $m=kn+yd=kxd+yd$ ，進而 $a=(kx+y)cd,b=xcd$ ，

於是 $gcd(a,b)$ 就可以表示為 $gcd((kx+y)cd,xcd)=cd$ ，

如果要讓它等於 $c$ ，那么 $d=1$ ，即 $gcd(n,m−kn)=1$ 。

代碼

int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}