数论基础，欧几里得定理

//$LaTeX$ 炸了（可能是我不会用），将就看吧

定理 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

证明

设 $c=gcd(a,b)$ ，那么 $a$ 可以表示为 $mc$ ， $b$ 可以表示为 $nc$ 的形式。然后令 $a=kb+r$ ，那么我们就只需要证明 $gcd(b,r)=c$ 即可。

$∵r=a−kb=mc−knc$ ， $∴gcd(b,r)=gcd(nc,mc−knc)=gcd(nc,(m−kn)c)$ ，所以我们只需要证 $gcd(n,m−kn)=1$ 即可。

设 $n=xd,m−kn=yd$，那么 $m=kn+yd=kxd+yd$ ，进而 $a=(kx+y)cd,b=xcd$ ，

于是 $gcd(a,b)$ 就可以表示为 $gcd((kx+y)cd,xcd)=cd$ ，

如果要让它等于 $c$ ，那么 $d=1$ ，即 $gcd(n,m−kn)=1$ 。

代码

int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}