【數學建模】day01-線性規划問題

線性規划問題是在一組線性約束條件下，求線性目標函數最大/最小值的問題。這些約束條件有不等式約束、等式約束以及邊界約束，這和中學講的線性規划無異。

 

此類問題的MATLAB標准形式為：

　　

其中，max問題可以轉換為min求解，三個約束條件分別為不等、等式、邊界約束。

MATLAB求解函數：

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS)

param：

　　c是目標系數；

　　A、b對應不等條件；

　　Aeq、beq對用等式條件；

　　LB、UB為邊界；

　　x0是求解的初始值；

　　OPTIONS是控制參數，一般不用。

return：

　　 x向量是使得目標函數最小的x取值；

　　fval是相應的目標函數最優值，若是由max問題轉化為min，還要取反。

 

例題以及matlab求解：

一、求解線性規划問題

　　

求解的matlab程序如下：

 

f = [-2;-3;5];
A = [-2,5,-1;1,3,1];
b = [-10;12];
Aeq = [1,1,1];
beq = 7;
lb = [0;0;0];
ub = [inf;inf;inf];
[x,y]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,zeros(3,1));
x
y = -y

 

 

 

二、其他可以轉換為線性規划問題，如目標為絕對值函數，指派問題（匈牙利算法），對偶理論與敏感度分析，在此略過，使用時查閱。

 

三、應用建模：投資的收益與風險

模型一的求解：

 

clc,clear
a = 0;
hold on
while a<0.05
    c = [-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185]
    A = [zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];
    b = a*ones(4,1);
    Aeq = [1,1.01,1.02,1.045,1.065];
    beq = 1;
    LB = zeros(5,1);
    [X,Q] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);
    Q = -Q;
    Q
    plot(a,Q,'*k');
    a = a + 0.001;
end
xlabel('風險水平a');
ylabel('最大收益Q');

 

結果分析：