1. 前言
狄利克雷卷積，是學習與繼續探究 \(\mu\) 函數和 \(\varphi\) 函數的重要前提，因為這兩個函數中有一些更好用的性質可以從狄利克雷卷積中得到，或者使用狄利克雷卷積更好的證明。
前置知識：一些基礎的數論知識，可以直接看下去，遇到不明白的再查。
若無特殊說明，本文約定：數論函數如 \(f(n)\) 的定義域是正整數集，值域是數集。
2. 一些基礎函數
這里給出下面會用到的幾個基礎函數：
單位函數 \(\varepsilon\)：\(\varepsilon(n )=[n=1]\)。
\([A]\) 表示 \(A\) 為真時值為 1，否則為 0。
常數函數 \(1\)：\(1(n)=1\)。
恆等函數 \(id\)：\(id(n)=n\)。
歐拉函數 \(\varphi\)：\(\varphi(n)=\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1]\)。
約數和函數 \(\sigma_0=\sum_{d \mid n}1\)，可擴展到 \(\sigma_k=\sum_{d \mid n}d^k\)。
莫比烏斯函數 \(\mu\)，定義見后文，該函數的一種定義是由狄利克雷卷積得到的（或者說是性質），會簡單介紹，另一種是直接定義，與狄利克雷卷積無關。
本文認為您應當對歐拉函數有一定的了解，至少知道歐拉函數的一些性質，如不知道任何性質，可以看我寫的博客數學/數論專題-學習筆記：歐拉函數進行學習。
3. 積性函數
定義：對於一個數論函數 \(f(n)\)，如果 \(\gcd(i,j)=1\) 時有 \(f(i) \times f(j)=f(i \times j)\)，那么 \(f(n)\) 就是積性函數。
易證 \(\varepsilon,1,id\) 時積性函數，而證明 \(\varphi(n)\) 是積性函數的過程在學習歐拉函數的過程中應該都學過，此處不贅述，莫比烏斯函數也是積性函數，但本篇博文不准備證明，因為我們目前無法得到其定義。
接下來證明 \(\sigma_0\) 是積性函數：
設 \(\gcd(n,m)=1\)，則要證明 \(\sigma_0(nm)=\sigma_0(n) \times \sigma_0(m)\)。
對 \(n,m\) 分解質因數，有 \(n=\prod_{i=1}^{s1}p1_i^{k1_i},m=\prod_{i=1}^{s2}p2_i^{k2_i}\)，因為 \(\gcd(n,m)=1\)，所以保證所有 \(p1_i\) 與 \(p2_i\) 互不相同。
因此 \(\sigma_0(n)=\prod_{i=1}^{s1}(1+k1_i),\sigma_0(m)=\prod_{i=1}^{s2}(1+k2_i)\)。
如果定義 \(p=p1 \cup p2,k=k1 \cup k2\)，並且 \(p_i\) 與 \(k_i\) 在之前的 \(p1,p2,k1,k2\) 中也是一一對應的，那么 \(nm=\prod_{i=1}^{s1+s2}p_i^{k_i}\)，則 \(\sigma_0(nm)=\prod_{i=1}^{s1+s2}(1+k_i)=\prod_{i=1}^{s1}(1+k1_i) \times \prod_{i=1}^{s2}(1+k2_i)=\sigma_0(n) \times \sigma_0(m)\)，證畢。
4. 狄利克雷卷積
先定義兩個數論函數 \(f(n),g(n)\) 的加法與單個數論函數的數乘如下：
加法為逐項相加，即 \((f+g)(i)=f(i)+g(i)\)，\((xf)(n)=xf(n)\)。
其中 \(f+g\) 表示加法之后得到的函數，\(xf\) 表示數乘之后得到的函數。
注意，本文將數和函數符號都用小寫字母表示。
兩個數論函數 \(f=g\) 的充要條件是 \(\forall n \in \text{N}_+,f(n)=g(n)\)。
定義兩個數論函數的狄利克雷卷積 \(*\) 如下：
設 \(f(n),g(n)\) 是兩個數論函數，則其狄利克雷卷積為 \(t=f*g\)，滿足：
有一個等價形式是 \(t(n)=\sum_{i \times j=n}f(i)g(j)\)，這個形式常用於證明某些性質。
狄利克雷卷積有如下的基礎性質：
- 交換律 \(f*g=g*f\)。
- 結合律 \((f*g)*h=f*(g*h)\)。
- 分配律 \((f+g)*h=f*h+g*h\)。
- 對數乘而言的結合律（我自己起的名字）\((xf)*g=x(f*g)\)。
- 單位函數 \(\epsilon*f=f\)。
這 5 個性質讀者自證不難。
接下來看下狄利克雷卷積的逆元概念：對所有 \(f(1) \ne 0\) 的函數 \(f\)，都存在 \(f * g=\epsilon\)，稱 \(g\) 是 \(f\) 的逆元，記作 \(f^{-1}\)。
\(f(1) \ne 0\) 的原因是 \((f*f^{-1})(1)=\sum_{ij=1}f(i)f^{-1}(j)=f(1)f^{-1}(1)=1\)，因此要滿足這個式子，則 \(f(1) \ne 0\)。
求逆元的式子如下：
還有一種合在一起的簡化版本：
怎么得到的不知道，但是我們可以驗證這個 \(g(n)\) 是對的：
\((f*g)(n)=\sum_{d \mid n}f(d)g(\dfrac{d}{n})=f(1)g(n)+\sum_{d \mid n,d>1}f(d)g(\dfrac{n}{d})=[n=1]\)
即 \((f*g)(n)=[n=1]=\epsilon(n)\)，所以 \(f*g=\epsilon\)，滿足定義。
設 \(f(n),g(n)\) 是兩個積性函數，有：
- \(f*g\) 是積性函數。
- \(f^{-1}\) 是積性函數。
其中上述性質 2 需要數學歸納法證明，過於繁瑣，這里略去，有興趣的可以參考參考資料。
性質 1 證明：
設 \(t=f*g,\gcd(n,m)=1\)，則要證 \(t(nm)=t(n)t(m)\)：
\(t(nm)=\sum_{d \mid nm}f(d)g(\dfrac{nm}{d})=\sum_{i \mid n,j \mid m}f(ij)g(\dfrac{n}{i}\times\dfrac{m}{j})\)
其中因為 \(\gcd(n,m)=1\)，所以 \(i,j\) 無共同質因子，且 \(\gcd(\dfrac{n}{i},\dfrac{m}{j})=1\)。
\(=\sum_{i \mid n,j\mid m}f(i)g(\dfrac{n}{i})f(j)g(\dfrac{n}{j})=[\sum_{i \mid n}f(i)g(\dfrac{n}{i})][\sum_{j \mid m}f(j)g(\dfrac{m}{j})]=t(n)t(m)\)。
證畢。
然后考慮莫比烏斯函數 \(\mu\)。
其實接下來的內容會涉及到莫比烏斯函數與莫比烏斯反演的相關性質，這里簡單介紹一下。
我們規定：常數函數 \(1\) 的逆元是 \(\mu\)，即 \(1*\mu=\epsilon\)。
假設 \(g=f*1\)，因為 \(f=f*\epsilon\)，那么 \(f=f*1*\mu=g*\mu\)。
帶入狄利克雷卷積的式子，也就是：
若 \(g(n)=\sum_{d \mid n}f(d)\)，則 \(f(n)=\sum_{d \mid n}g(d)\mu(\dfrac{n}{d})\)。
上述式子就是根據狄利克雷卷積得到的莫比烏斯反演的式子，另一個莫比烏斯反演的式子是另外一個類似卷積的東西得到的。
關於莫比烏斯反演這里只講這么多，因為這里不是莫比烏斯反演的博文。
5. 總結
這里總結了本篇的重要定理與式子。
狄利克雷卷積定義：\(t=f*g,t(n)=\sum_{d \mid n}f(n)g(\dfrac{n}{d})\)。
狄利克雷卷積滿足交換律，結合律，分配律，對數乘分配律，\(f * \epsilon=f\)。
狄利克雷卷積逆元 \(g(n)=[n=1]-\sum_{d \mid n,d>1}f(d)g(\dfrac{n}{d})\)。
若 \(f,g\) 是兩個積性函數，則 \(f*g,f^{-1}\) 也是積性函數。
莫比烏斯函數 \(\mu\) 定義為 \(1*\mu=\epsilon\)，即 \(1\) 的逆元。
\(g=f*1 \Rightarrow f=f*1*\mu=g*\mu\)，即 \(g(n)=\sum_{d \mid n}f(d) \Rightarrow f(n)=\sum_{d \mid n}g(d)\mu(\dfrac{n}{d})\)。