積性函數和狄利克雷卷積小結

1、積性函數：對於函數$f(n)$，若滿足對任意互質的數字a,b，a*b=n且$f(n)=f(a)f(b)$，那么稱函數f為積性函數。顯然f(1)=1。

2、狄利克雷卷積：對於函數f,g,定義它們的卷積為$(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$。

3、兩個積性函數的狄利克雷卷積仍為積性函數。
證明：
設f,g的狄利克雷卷積為h，即$h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$,設n=a*b,a或b為1時顯然成立，下面證明a和b均不為1
設$n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{m}^{\alpha _{m}},a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{k}^{\alpha _{k}},b=p_{k+1}^{\alpha _{k+1}}p_{k+2}^{\alpha _{k+2}}...p_{m}^{\alpha _{m}}$
其中$m\geq 2,1\leq k\leq m-1$
$h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$
$h(a)=\sum_{d1|n}f(d1)g(\frac{a}{d1})$
$h(b)=\sum_{d2|n}f(d2)g(\frac{b}{d2})$
首先h(n)等號右側有$\prod_{i=1}^{m}(\alpha _{i}+1)$項，h(a)等號右側有$\prod_{i=1}^{k}(\alpha _{i}+1)$項,h(b)等號右側有$\prod_{i=k+1}^{m}(\alpha _{i}+1)$項,，所以h(n)和h(a)h(b)的項數是一樣的。
其次，對於h(n)右側的每一項，設某一項為f(x)g(y)，
$x=p_{1}^{\beta _{1}}p_{2}^{\beta _{2}}...p_{m}^{\beta _{m}}$,
$y=p_{1}^{\gamma _{1}}p_{2}^{\gamma _{2}}...p_{m}^{\gamma _{m}}$,
一定存在$X=p_{1}^{\beta _{1}+\gamma _{1}}p_{2}^{\beta _{2}+\gamma _{2}}...p_{k}^{\beta _{k}+\gamma _{k}}$,$Y=p_{k+1}^{\beta _{k+1}+\gamma _{k+1}}p_{k+2}^{\beta _{k+2}+\gamma _{k+2}}...p_{m}^{\beta _{m}+\gamma _{m}}$，使得f(X)是h(a)右側的項，g(Y)是h(b)右側的項，由於f,g都是積性函數，那么f(X)g(Y)=f(x)g(y)。
因此，h(n)=h(a)h(b)。

4、歐拉函數是積性函數。
設$n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{m}^{\alpha _{m}},a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{k}^{\alpha _{k}},b=p_{k+1}^{\alpha _{k+1}}p_{k+2}^{\alpha _{k+2}}...p_{m}^{\alpha _{m}}$,
那么$\varphi (n)=n\prod_{i=1}^{m}(1-\frac{1}{p_{i}})$,
$\varphi (a)=a\prod_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{p_{i}})$,
$\varphi (b)=b\prod_{i=k+1}^{m}(1-\frac{1}{p_{i}})$,
由於n=ab，顯然$\varphi (n)=\varphi (a)\varphi (b)$

5、莫比烏斯函數($\mu$)是積性函數。由莫比烏斯函數的定義，分1，-1，0討論就好。

6、莫比烏斯反演：對於函數f(n)和F(n)，若$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$，那么$f(n)=\sum_{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d})$。