Definition
完全積性函數
單位函數
\[\varepsilon(n)=[n=1] \]
冪函數
\[Id_k(n)=n^k \]
特別地，有：
- \(k=0\) 時，為常數函數 $$I(n)=1$$
- \(k=1\) 時，為恆等函數 $$Id(n)=n$$
非完全積性函數的積性函數
除數函數
\[\sigma_k(n)=\sum\limits_{d|n}d^k \]
特別地，有：
- \(k=0\) 時，為個數函數 $$d(n)=\sum\limits_{d|n}1$$
- \(k=1\) 時，為因數函數 $$\sigma(n)=\sum\limits_{d|n}d$$
歐拉函數
\[\varphi(n)=n\prod\limits_{p|n}(1-\frac{1}{p}) \ \ \ (p\in prime) \]
莫比烏斯函數
\[\begin{aligned}\mu(n) & =[\max(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k)\leqslant1]\times(-1)^k \\ & =\begin{cases}1&n=1\\(-1)^k&n=p_1 \ p_2 \ p_3 \ ... \ p_k \ \ \ (p_i\in prime)\\0&otherwise\end{cases}\end{aligned} \]
其中 \(\alpha_i\) 表示第 \(i\) 個質因數的指數，這里默認 \(\max(\varnothing)=0\)。
Formula
若 \(f,g\) 皆為積性函數，則 \(f*g\) 也是積性函數。
\[f*g=g*f \]
\[(f*g)*h=f*(g*h) \]
\[f*(g+h)=f*g+f*h \]
\[\text{Id}_k*I=\sigma_k \]
\[\varphi*I=Id \ \Leftrightarrow \ Id*\mu=\varphi \]
\[I*I=d \]
莫比烏斯函數與常數函數互為狄利克雷逆：
\[\mu*I=\varepsilon \]
莫比烏斯反演定理：
\[f=I*g \ \Leftrightarrow \ g=\mu*f \]