ACM數論之旅10---大組合數-盧卡斯定理（在下盧卡斯，你是我的Master嗎？(。-`ω´-) ）

 

記得前幾章的組合數吧

我們學了O(n^2)的做法，加上逆元，我們又會了O(n)的做法

現在來了新問題，如果n和m很大呢，

比如求C(n, m) % p  ， n<=1e18,m<=1e18,p<=1e5

看到沒有，n和m這么大，但是p卻很小，我們要利用這個p

 

（數論就是這么無聊的東西，我要是讓n=1e100，m=1e100，p=1e100你有本事給我算啊(°□°)，還不是一樣算不出來）

 

然后，我們著名的盧卡斯（Lucas）在人群中站了出來(｀･д･´)說：“讓老子來教你這題”

 

盧卡斯說：

C(n, m) % p  =  C(n / p, m / p) * C(n%p, m%p) % p

對於C(n / p, m / p)，如果n / p 還是很大，可以遞歸下去，一直到世界的盡頭

 

 

眾人聞此言，無不驚嘆，妙哉！妙哉！

 

（笑死我了o(*≧▽≦)ツ┏━┓拍桌狂笑）

（不要問我證明過程，我不費(´･ω･｀)）

 

 

然后上代碼

LL Lucas(LL n, LL m, int p){
        return m ? Lucas(n/p, m/p, p) * comb(n%p, m%p, p) % p : 1;
}

 

 

簡潔易懂<(￣︶￣)>

 

 

 

 

 

 

 

實戰一下吧

 

hdu 5446

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5446

 

題意：

給你三個數n, m, k

第二行是k個數，p1,p2,p3...pk

所有p的值不相同且p都是質數

求C(n, m) % (p1*p2*p3*...*pk)的值

范圍：1≤m≤n≤1e18，1≤k≤10，pi≤1e5，保證p1*p2*p3*...*pk≤1e18

 

 

AC代碼：

#include<cstdio>
typedef long long LL;
const int N = 100000 + 5;
LL mul(LL a, LL b, LL p){//快速乘，計算a*b%p 
    LL ret = 0;
    while(b){
        if(b & 1) ret = (ret + a) % p;
        a = (a + a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
LL fact(int n, LL p){//n的階乘求余p 
    LL ret = 1;
     for (int i = 1; i <= n ; i ++) ret = ret * i % p ;
    return ret ;
}
void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
    if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
    else{
        ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
        y -= x * (a / b);
    }
}
LL inv(LL t, LL p){//如果不存在，返回-1 
    LL d, x, y;
    ex_gcd(t, p, x, y, d);
    return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}
LL comb(int n, int m, LL p){//C(n, m) % p
    if (m < 0 || m > n) return 0;
    return fact(n, p) * inv(fact(m, p), p) % p * inv(fact(n-m, p), p) % p;
}
LL Lucas(LL n, LL m, int p){
        return m ? Lucas(n/p, m/p, p) * comb(n%p, m%p, p) % p : 1;
}
LL china(int n, LL *a, LL *m){//中國剩余定理 
    LL M = 1, ret = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++) M *= m[i];
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        LL w = M / m[i];
        //ret = (ret + w * inv(w, m[i]) * a[i]) % M;//這句寫了會WA，用下面那句 
        ret = (ret + mul(w * inv(w, m[i]), a[i], M)) % M;
        //因為這里直接乘會爆long long ,所以我用快速乘(unsigned long long也是爆掉，除非用高精度)
    }
    return (ret + M) % M;
}
int main(){
    int T, k;
    LL n, m, p[15], r[15];
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%I64d%I64d%d", &n, &m, &k);
        for(int i = 0; i < k; i ++){
            scanf("%I64d", &p[i]);
            r[i] = Lucas(n, m, p[i]);
        }
        printf("%I64d\n", china(k, r, p));
    }
}

 

 

我們知道題目要求C(n, m) % (p1*p2*p3*...*pk)的值

其實這個就是中國剩余定理最后算出結果后的最后一步求余

那C(n, m)相當於以前我們需要用中國剩余定理求的值

然而C(n, m)太大，我們只好先算出

C(n, m) % p1 = r1

C(n, m) % p2 = r2

C(n, m) % p3 = r3

.

.

.

C(n, m) % pk = rk

用Lucas，這些r1,r2,r3...rk可以算出來

然后又是用中國剩余定理求答案

 

 

 

 

 

 

 

 

 

全都是套路。。。