盧卡斯定理詳解

簡述

　　盧卡斯定理是用於求c(n,m) mod p，p為素數的值。
　　題目中求n和m很大的組合數時，結果一般都會溢出，所以經常會求組合數%p的某個值。當p大於m時，我們可以直接根據定義求分母在模p意義下的乘法逆元求出結果：

　　

　　但當p<m時，分母的乘法逆元可能不存在(m可能是p的倍數)，所以就輪到盧卡斯定理出場了。

定理描述

　　對於非負整數n，m和質數p

　　

　　其中，為n和m的p進制展開。

　　在做題中我們用到的是遞推式：

　　當m<n時，規定c(n,m)=0。

證明

　　設x是任意小於p的正整數，那么有：

　　　　

　　因為x<p，所以x存在modp意義下的逆元，於是乎：

　　　　

　　因為等式右邊是p的倍數，所以：

　　　　   公式1

---

 　　根據二項式定理，在modp意義下，我們有

　　　　

　　當n=p時，根據公式1，除了i=0和i=p時，其余項都為0，所以

　　　　 公式2

---

　　現在我們設，，那么

　　根據二項式定理，我們有：

　　我們對等式左端進行變形：

　　

　　也就是說

　　我們來看k=n的情況，觀察項，左邊為，我們現在來看右邊，因為j<rm<p，同時rn<rm，我們只能取j=rn，i=qn

　　於是乎我們可以得到：

　　

　　兩邊同時乘inv(xⁿ)，我們就可以得到：

　　

代碼詳解

　　根據上面的遞推式，我們可以寫出如下代碼：　　

　　注意這里是n下m上，遞歸終點為m==0

ll lucas(ll n,ll m){
    if(m==0) return 1;
    return lucas(n/p,m/p)*c(n%p,m%p)%p;
}

　　那怎么算C(n,m)呢？我們就要用到乘法逆元，根據定義來算

　　這里的num[i]為i的階層，inv(i)為i在模p意義下的乘法逆元

ll c(ll n,ll m){
    if(m>n) return 0;
    return (num[n]*inv(num[m])%p)*inv(num[n-m])%p;
}

　　乘法逆元我們用費馬小定理來算，這里不展開敘述

ll mypow(ll x,ll n,ll m){
    ll res=1;
    while(n){
        if(n&1) res=res*x%m;
        x=x*x%m;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
ll inv(ll x){
    return mypow(x,p-2,p);
}

模板

ll num[maxn];
ll mypow(ll x,ll n,ll m){
    ll res=1;
    while(n){
        if(n&1) res=res*x%m;
        x=x*x%m;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
ll inv(ll x){
    return mypow(x,p-2,p);
}
ll c(int n,int m){
    if(m>n) return 0;
    return (num[n]*inv(num[m])%p)*inv(num[n-m])%p;
}
ll lucas(ll n,ll m){
    if(m==0) return 1;
    return lucas(n/p,m/p)*c(n%p,m%p)%p;
}