在數論中，裴蜀定理是一個關於最大公約數（或最大公約式）的定理
在數論中，裴蜀定理是一個關於最大公約數（或最大公約式）的定理。裴蜀定理得名於法國數學家艾蒂安·裴蜀，說明了對任何整數a、b和它們的最大公約數d，關於未知數x和y的線性丟番圖方程（稱為裴蜀等式）：
ax + by = m
有解當且僅當m是d的倍數。裴蜀等式有解時必然有無窮多個整數解，每組解x、y都稱為裴蜀數，可用輾轉相除法求得。
例如，12和42的最大公因子是6，則方程12x + 42y = 6有解。事實上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。
特別來說，方程 ax + by = 1 有解當且僅當整數a和b互素。
裴蜀等式也可以用來給最大公約數定義：d其實就是最小的可以寫成ax + by形式的正整數。這個定義的本質是整環中“理想”的概念。因此對於多項式整環也有相應的裴蜀定理。
證明：
(1)若b=0,則(a,b)=a.這時定理顯然成立。
(2)若a,b不等於0.
∵(a,b)=(a,-b)∴不妨設a,b都大於零，a>=b,(a,b)=d
對ax+by=d，兩邊同時除以d，可得(a1)x+(b1)y=1，其中(a1,b1)=1。
轉證(a1)x+(b1)y=1。由帶余除法：
a1=(q1)b+(r1),其中0=<r1<b1
b1=(q2)(r1)+(r2),其中0=<r2<r1
(r1)=(q3)(r2)+(r3),其中0=<r3<r2
.....
(rn-3)=(qn-1)(rn-2)+(rn-1)
(rn-2)=(qn)(rn-1)+(rn)
(rn-1)=(qn+1)(rn)
於是，有(a1,b1)=(b1,r1)=(r1,r2)=...=(rn-1,rn)=1
故
(rn-2)=(xn)(rn-1)+1
即1=(rn-2)-(xn)(rn-1)
由倒數第三個式子（rn-1）=(rn-3)-(xn-1)(rn-2)代入上式，得
1=[1+(xn)(xn-1)](rn-2)-(xn)(rn-3)
然后用同樣的辦法用它上面的等式逐個地消去(rn-2),...(r1),
可證得1=(a1)x+(b1)y。
推廣：
以上定理可推廣到n個，n≥2
如1st IMO 1959第1題：證明對任意自然數n，(21n+4)/(14n+3)為既約分數。證明：很容易看出3(14n+3)-2(21n+4)=1，由裴蜀定理，21n+4與14n+3互質，故(21n+4)/(14n+3)為既約分數。Q.E.D.
另如：5x+4y+3z可表示全部整數.因為3，4，5互質，所以5x+4y+3z可以等於1，則必定可以等於其他任意整數