定義：設群$G$的階數$|G|=p^rm$,其中$p$為素數且$(p,m)=1$,那么$G$的$p^k(k\leq r)$階子群均叫做$G$的$p$子群,特別的$p^r$階子群稱為Sylow $p-$子群.
Lagrange定理告訴我們子群的階數一定是群階數的因子,但是反過來未必成立,也就是說對於群$G$階數的任意因子$d$,$G$未必有$d$階子群.例如$60$階群$A_5$沒有$30$階子群,因為如果有這一定是正規的,與$A_5$的單性相矛盾.但是對於$p$子群的問題,我們有：
Sylow第一定理 設群$G$的階數$|G|=n=p^lm$,其中$p$為素數且$(p,m)=1$.那么對任意的$p^k\big||G|$,$G$存在$p^k$階子群,特別的Sylow$p-$子群存在.
證明 命集合$\Omega:=\left\{A\subset G:|A|=p^k\right\}$即為$G$的$p^k$階子集的全體,顯然$|\Omega|=\binom{n}{p^k}$.考慮置換表示$\phi:G\to S(\Omega)$,$\phi(g)A=gA$,從而$\Omega$可被分解成一些軌道的無交並,從而$$\binom{n}{p^k}=|\Omega|=\sum_{i=1}^{t}\left|\mathrm{Orb}(A_i)\right|=\sum_{i=1}^{t}\frac{p^lm}{\left|\mathrm{Stab}(A_i)\right|}$$接下來需要一個引理:$p^{l-k}\big\|\binom{n}{p^lm}$,其中$\big\|$表示恰好整除的意思,即$$p^{l-k}\big|\binom{n}{p^k},p^{l-k+1}\nmid\binom{n}{p^k}$$證明的話只需將組合數公式展開即可.
根據引理,那么存在某個軌道$\mathrm{Orb}(A)$使得$p^{l-k+1}\nmid|\mathrm{Orb}(A)|$,但是$|\mathrm{Orb}(A)|$是$|G|=p^lm$的因子,這說明$|\mathrm{Orb}(A)|$含有$p$的因子至多為$p^{l-k}$,而$$|\mathrm{Stab}(A)|=\frac{p^lm}{|\mathrm{Orb}(A)|}$$這說明$|\mathrm{Stab}(A)|$含有$p$的因子至少為$p^k$,也就是說$p^k\big||\mathrm{Stab}(A)|$,另一方面注意到$\forall a\in A$有$$\mathrm{Stab}(A)a:=\left\{ga:g\in\mathrm{Stab}(A)\right\}\subset A$$這說明$|\mathrm{Stab}(A)|=|\mathrm{Stab}(A)a|\leq |A|=p^k$,因此$|\mathrm{Stab}(A)|=p^k$,即為$G$的$p^k$階子群.
Sylow第二定理 設群$G$的階數$|G|=n=p^lm$,其中$p$為素數且$(p,m)=1$.設$H$是$G$的任意$p^k,(k\leq l)$階子群,而$P$為$G$的Sylow$p-$子群.那么存在$g\in G$使得$$H\subset gPg^{-1}$$換言之群的任意$p$子群必然包含在Sylow$p-$子群的某個共軛子群(事實上這也是Sylow$p-$子群)中,特別的全體Sylow$p-$子群彼此共軛.
證明 命$\Omega:=\{gP:g\in G\}$即為$P$在$G$中的左陪集全體,根據Lagrange定理$|\Omega|=m$,考慮置換表示$\phi:H\to S(\Omega)$,定義$\phi(h)gP=hgP$.那么我們有軌道的無交並分解$$|\Omega|=m=\sum_{i=1}^{t}|\mathrm{Orb}(P_i)|,P_i=g_iP$$注意到每個$|\mathrm{Orb}(P_i)|$都是$|H|=p^k$的因子,但是等式左邊$(m,p)=1$,這說明一定存在某個軌道長度為$1$(也就是不動點),設為$|\mathrm{Orb}(gP)|=1$,即$\forall h\in H$都有$hgP=gP$,從而$H\subset gPg^{-1}$.
特別的如果$k=l$,那么$H$本身也是Sylow$p-$子群,那么$|H|=|gPg^{-1}|=p^l$,從而$H=gPg^{-1}$,這說明Sylow$p-$子群彼此共軛.
Sylow第二定理的一個直接推論是,如果群$G$的Sylow$p-$子群僅有一個,那么必然是正規的!
Sylow第三定理 設群$G$的階數$|G|=n=p^lm$,其中$p$為素數且$(p,m)=1$.那么$G$的Sylow$p-$子群個數$N(p)$滿足$$N(p)\big|m,N(p)\equiv 1(\mathrm{mod}~~p)$$證明 任取$G$的Sylow$p-$子群$P$,按照第二定理可知$N(p)=[G:N_G(P)]\big|[G:P]=m$.另一方面命集合$\Omega:=\left\{gPg^{-1}:g\in G\right\}$即為$G$的Sylow$p-$子群的全體,考慮置換表示$\phi:P\to S(\Omega)$,定義$\phi(a)gPg^{-1}=agPg^{-1}a^{-1}$,那么我們有軌道分解$$|\Omega|=N(p)=\sum_{i=1}^{t}\left|\mathrm{Orb}(P_i)\right|,P_i:=g_iPg_{i}^{-1}$$根據軌道穩定子定理每個軌道的長度$\left|\mathrm{Orb}(P_i)\right|$都是群$P$階數$p^l$的因子,但是$N(p)\big|m$,而$(p,m)=1$,這說明必然有一些軌道的長度為$1$,這些元素便構成了不動點集$\Omega_0$,從而$$N(p)=|\Omega_0|+\sum_{\left|\mathrm{Orb}(P_i)\right|\geq2}\left|\mathrm{Orb}(P_i)\right|$$設$gPg^{-1}\in\Omega_0$,那么$\forall a\in P$都有$agPg^{-1}a^{-1}=gPg^{-1}\Rightarrow g^{-1}Pg\subset N_{G}(P)$,由於$|g^{-1}Pg|=|P|=p^l$,因此$g^{-1}Pg,P$都是$N_G(P)$的Sylow$p-$子群,按照第二定理二者必然在$N_G(P)$中共軛,即存在$b\in N_G(P)$使得$g^{-1}Pg=bPb^{-1}=P$,這說明$\Omega_0$僅有一個元素,即為$P$,因此$$N(p)\equiv1(\mathrm{mod}p)$$