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阿貝爾深入研究了橢圓積分的問題.
1637年，費馬去圖書館看書，違反規定，在圖書上亂寫，寫出了費馬大定理。
356年后的1993年，費馬大定理被美國數學家安德魯.懷爾斯解決，他使用的核心方法就是橢圓積分。
假如生活在19世紀的阿貝爾沒有死去，費馬大定理可能輪不到20世紀的人解決。
阿貝爾得了肺結核無錢醫治死去。
數學上，高斯排名第一，牛頓第二。但阿爾巴的天分應在高斯之上，后者可能感覺到了威脅，所以打算不資助他。后者看了前者的論文只是說：我看不懂，可能沒有什么價值。
阿貝爾定理：
已知：上面的級數在x=0這一點一定是收斂的，因為在x=0這一點有確定的數值a0.
阿貝爾：假如還能找到一個異於x=0的點，使得級數的值存在，即使得級數收斂，那么，在（-|x0|,|x0|）區間，級數必定處處絕對收斂。假如能找到一個異於x=0的點x1，帶入級數后，級數是發散的，那么級數在(-∞,|x1|)及(|x1|,+∞)區間上發散。
注：
1.當收斂區間擴大和發散區間也叩打的時候，它們一定會相遇在某一點x2，在這一點處，(-R,+R)區間級數處處絕對收斂，這個區間外發散。
2.在x2那一點處，級數是收斂還是發散呢？阿貝爾沒有說。達朗貝爾，柯西在這一點都不講話的。只有一個辦法：把-R和+R那兩個點帶入到級數里面再作判斷（討論），很麻煩的。