ghj1222
先介紹幾個符號的含義。
符號\(\Theta\)，讀音西塔，既是上界也是下界，等於，嚴格貼緊。
符號\(O\)，讀音毆，表示上界，小於等於，貼緊未知。
符號\(o\)，讀音也是毆，小於，不貼緊。
符號\(\Omega\)，讀音偶眯嘎，表示下界，大於等於，貼緊未知。
符號\(\omega\)，讀音也是偶眯嘎，表示下界，大於，不貼緊。
上面的“貼緊”是我根據tight翻譯過來的(不是很准確啊)，大概就是是否嚴格等於的意思吧。
意思就是\(\Theta\)是平均時間復雜度，\(O\)是最壞情況下的復雜度，\(\Omega\)是最好情況下的復雜度。
假設我們有遞推關系式：
\(\begin{aligned}T(n)=aT\left(\frac n b\right)+f(n)\end{aligned}\)
其中，\(n\)為問題的規模、\(a\)為遞推下子問題的數量，\(\begin{aligned}\frac n b\end{aligned}\)為每個子問題的規模，\(f(n)\)為遞推后做的額外的計算工作。
1.假設存在常數\(\epsilon>0\)，使得\(f(n)=O(n^{\log_b(a)-\epsilon})\)，則\(T(n)=\Theta(n^{log_ba})\)。
具體意思是f(n)的上界是n的冪次，且\(log_b(a)\)比這個冪次要大，則時間復雜度為這個n的\(log_b(a)\)次。
例子：二叉樹的遍歷。\(\begin{aligned}T(n)=2T\left(\frac n 2\right)+\Theta(1)\end{aligned}\)。其中\(a=2\)，\(b=2\)，\(f(n)=1\)，此時\(\epsilon=1\)。\(T(n)=\Theta(n)\)。
2.假設存在常數\(k\ge0\)，使得\(f(n)=\Theta (n^{\log _{b}a}\log ^{k}n)\)，則\(T(n)=\Theta(n^{log_ba}\log^{k+1}n)\)。
具體意思是f(n)是n的\(log_b(a)\)次，再乘以一個log，則復雜度是f(n)的復雜度再乘以一個log。
例子：歸並排序。\(\begin{aligned}T(n)=2T\left(\frac n 2\right)+\Theta(n)\end{aligned}\)。其中\(a=2\)，\(b=2\)，\(f(n)=n\)，此時\(k=0\)。\(T(n)=\Theta(n\log_2n)\)。
例子：二分搜索（折半搜索）。\(\begin{aligned}T(n)=T\left({\frac {n}{2}}\right)+\Theta (1)\end{aligned}\)，其中\(a=1\)，\(b=2\)，\(f(n)=1\)，此時\(k=0\)，則\(T(n)=\Theta(log_2n)\)。
3.假設存在常數\(\epsilon >0\) ，有\(f(n)=\Omega (n^{\log _{b}(a)+\epsilon })\)，同時存在常數\(c<1\)以及充分大的\(n\)滿足 \(af\left({\frac {n}{b}}\right)\leq cf(n)\)那么 \(T\left(n\right)=\Theta \left(f\left(n\right)\right)\)。
這個感覺沒啥用啊。。。
【例題】
【NOIP2017初賽】若某算法的計算時間表示為遞推關系式：
\(\begin{aligned}T(N)=2T\left(\frac N 2\right)+N\log N\end{aligned}\)，\(T(1)=1\)，則該算法的時間復雜度為______________________________________________________。
\(\rm A .O(N)\ B .O(N\log_2N)\ C.O(N\log_2^2N)\ D.O(N^2)\)
【解析】套用情況2中的k=1的情況，則\(T(n)=\Theta(N\log_2^2N)\)，選C
【NOIP2016初賽】若某算法的計算時間表示為遞推關系式：
\(\begin{aligned}T(N)=2T\left(\frac N 4\right)+\sqrt N\end{aligned}\)，\(T(1)=1\)，則該算法的時間復雜度為______________________________________________________。
\(\rm A .O(N)\ B .O(\sqrt N)\ C.O(\sqrt N\log_2N)\ D.O(N^2)\)
【解析】套用情況2中的k=0的情況，則\(T(n)=\Theta(sqrt(N)\log_2N)\)，選C
【NOIP2015初賽】某算法的計算時間表示為遞推關系式：
\(T(N)=T(N-1)+N\)，\(T(0)=1\)。則該算法的時間復雜度為______________________________________________________。
\(\rm A .O(\log_2^2N)\ B .O(N\log_2 N)\ C.O(N)\ D.O(N^2)\)
【解析】難道這個就要用主定理了？容易推導出\(\begin{aligned}T(N)=T(0)+1+...+n=1+\frac{N*(N+1)}{2}\end{aligned}\)，則時間復雜度為\(O(N^2)\)，選D
【總結】
NOIP初賽考察了3年的時間復雜度分析，其中兩年用到了主定理。其實你不會主定理也沒事兒，只要能找幾個特殊值帶入，並根據符號\(O\)的意義排除選項即可。