使用主定理求解遞歸式
主定理是分治算法分析中非常重要的定理。
如，我們要處理一個 規模為 \(n\) 的問題通過分治，得到 \(a\) 個規模為 \(\dfrac{n}{b}\) 的問題，分解子問題和合並子問題的時間是 \(f(n)\)。
在 \(T(n) = aT(\frac{n}{b})+f(n)\) 這個式子里，要求 \(a \geqslant 1, b> 1\)（如果 \(b=1\) 時，遞推無意義），\(f(n)\) 是漸進意義上的正數。
回顧一下 \(a\) 和 \(b\) 的含義：
- \(a\) 個子問題，即 \(a\) 是原問題分為子問題的個數；
- 每個子問題的規模是 \(\dfrac{n}{b}\)；
- 分治算法共三部分，分治合，而 \(f(n)\) 就是分 + 合的時間。\(\left \lfloor \frac{n}{b} \right \rfloor\) 和 \(\left \lceil \frac{n}{b} \right \rceil\) ，向下取整和向上取整的細節，並不會影響主定理的推導。
而后呢，根據上面的式子我們會得到三種情況：
- 若有實數大於零 \((\varepsilon >0),f(n)=O(n^{\log_{b}a-\varepsilon})\)，則 \(T(n)=\Theta (n^{\log_{b}a})\)；
- 若 \(f(n)=\Theta (n^{\log_{b}a})\)，則 \(T(n)=\Theta (n^{\log_{b}a}\log_n)\)；
- 若有實數大於零 (\(\varepsilon >0)\)\(f(n)=\Omega (n^{\log_{b}a+\varepsilon })\)，使得較大的 \(n\)，滿足 \(af(\frac{n}{b})\leqslant cf(n)\)，這時候則 \(T(n) = \Theta (f(n))\)。
這三種情況看起來很復雜，搞清楚他們之間的關系，快速記憶就簡單了。
對於三種情況的每一種，我們將函數 \(f(n)\) 與 \(n^{\log_{b}a}\) 比較，倆個函數較大者將決定遞歸式的解。
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若函數 \(n^{\log_{b}a}\) 更大，如情況 \(1\)，則解是 \(T(n)=\Theta (n^{log_{b}a})\)；注意 \(f(n)\) 小於 \(n^{\log_{b}a}\) 是漸進意義上的，要差一個因子量級 \(n^{\varepsilon }(\varepsilon >0)\)。
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若函數 \(f(n)\) 更大，如情況 \(3\)，則解是 \(T(n) = \Theta (f(n))\)；注意 \(f(n)\) 大於 \(n^{\log_{b}a}\) 是漸進意義上的，要差一個因子量級 \(n^{\varepsilon }(\varepsilon >0)\)，還要滿足 \(af(\frac{n}{b})\leqslant cf(n)\)；
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若倆個函數相等，如情況 \(2\)，則乘上一個對數因子，解為 \(T(n)=\Theta (n^{\log_{b}a}~\log_n)\)；
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上面的三種情況並未覆蓋 \(f(n)\) 的所有可能性，情況 \(1\)、情況 \(2\) 之間存在間隙，\(f(n)\) 可能小於 \(n^{\log_{b}a}\) 但不是多項式意義上的小於；情況 \(2\)、情況 \(3\) 之間也存在間隙，\(f(n)\) 可能大於\(n^{log_{b}a}\) 但不是多項式意義上的大於；若函數 \(f(n)\) 在這倆個間隙中，或者是情況 \(3\) 中要求的 \(af(\frac{n}{b})\leqslant cf(n)\) 條件不成立，就不能使用主方法來解決遞歸式。
首先，得明白一個基准函數：\(\Theta (n^{log_{b}a})\)。
有了基礎函數之后，就可以根據它來判定情形之間的關系。
那我們該如何記憶這個基准函數呢 ？？
原來的函數是：\(aT(\frac{n}{b})+f(n)\) 為底數，如果化為對數形式也是以 \(b\) 為底 \((\log_{b}a)\)；
原函數是一個多項式，\(a\) 和 \(b\) 都是常數，算出來肯定也是一個具體的數值。
所以，我們要記這樣一個基准多項式（基准函數）：\(\Theta (n^{?})\)，次方（即 \(?\)）是取對數的。
接下來，是以上三種情況的判定：
- \(f(n)\) 是弱於基准的，\(O(n^{\log_{b}a-\varepsilon })<\Theta (n^{\log_{b}a})\)；
- \(f(n)\) 是等於基准的，\(\Theta (n^{\log_{b}a})=\Theta (n^{\log_{b}a})\)；
- \(f(n)\) 是強於基准的，\(\Omega (n^{\log_{b}a+\varepsilon })>\Theta (n^{\log_{b}a})\)。
例子
例 \(1\)：\(T(n)=4T(\frac{n}{4})+\Theta (1)\)（樂高鋪積木）
分析，\(a=b=4\)，基准函數是 \(\Theta (n^{\log_{4}4})\)，因為 \(\log_{4}4=1\)，所以基准函數是 \(\Theta (n)\)。
又因為 \(f(n) = \Theta (1)\) 比基准函數 \(\Theta (n)\) 要弱，我們取一個實數 \((\varepsilon=1)\)，即 \(\Theta (1)=O(n^{1-\frac{1}{2}}) = O(\sqrt{n})\)。
得到 \(T(n)=\Theta (n )\)。
例 \(2\)：\(T(n)=T(\frac{n}{2})+\Theta (1)\)（二分查找）
分析，\(a=1,b=2\)，基准函數是 \(\Theta (n^{\log_{2}1})\)，因為 \(\log_{2}1=0\)，所以基准函數是 \(\Theta (1)\)。
又因為 \(f(n)=\Theta(1)\)，基准函數也是 \(\Theta(1)\) ，\(f(n)=\) 基准函數，再乘上一個 \(\log n\)，即 \(T(n)=\Theta(\log n)\)。
例3：\(T(n)=2T(\dfrac{n}{2})+\Theta(n)\) （歸並排序）
分析，\(a=b=2\)，基准函數是 \(\Theta (n^{\log_{2}2})\)，因為 \(\log_{2}2=1\)，所以基准函數是 \(\Theta (n)\)。
又因為 \(f(n)=\Theta (n)\)，基准函數也是 \(\Theta (n)\)，\(f(n)=\) 基准函數，最后 \(T(n)=\Theta (n~logn)\)。