算法分析基礎——主定理

對於形為T(n) = aT(n / b) + f(n)的遞推方程，我們有如下結論：

主定理（MasterTheorem） 設a≥1，b>1 為常數，f(n)為函數，n為非負整數，且 T(n) = aT(n / b) + f(n)，則有以下結果：

1. 若存在ε>0，使得f(n) = O(n^log_ba-ε)，則T(n) = Θ(n^log_ba)
2. 若f(n) = Θ(n^log_ba)，則T(n) = Θ(n^log_balogn)
3. 若存在ε>0，使得f(n) = Ω(n^log_ba+ε)，並且對於某個常數c<1和所有充分大的n，有af(n / b)≤cf(n)，則T(n) = Θ(f(n))

證明：詳見教材（推導過程略復雜，不想寫了qwq）。

由主定理可以直接得到下述推論：

推論1 依主定理條件，遞推方程為T(n)= aT(n / b) + c，則

1. 當a≠1時，T(n) = Θ(n^log_ba)
2. 當a=1時，T(n) = Θ(logn)

推論2 依主定理條件，遞推方程為T(n) = aT(n / b) + cn，則

1. 當a>b時，T(n) = Θ(n^log_ba)
2. 當a=b時，T(n) = Θ(nlogn)
3. 當a<b時，T(n) = Θ(n)

 例 根據主定理及其推論，我們可以直接得到二分檢索算法的平均時間復雜度為Θ(logn)，而二分歸並排序的平均時間復雜度為Θ(nlogn)。