導向濾波算法分析

本文從數學上推導導向濾波的算法，其算法的具體實現在下一篇導向濾波算法的實現介紹。

設引導圖G，輸入圖像P，輸出圖像Q。導向濾波的目標是使得輸入P和輸出Q盡可能相同，同時紋理部分和引導圖G相似。

為了滿足第一個目標，使輸入P和輸出Q盡可能相似，我們要求最小化平方差

為了滿足第二個目標，使輸出圖像Q的紋理和引導圖G的紋理相似，我們要

積分得到

考慮一個小窗口W_k，在W_k內認為a，b保持不變，設為a_k，b_k。W_k內的像素滿足

　　(1)

把(1)代入第一個目標，使窗口內的像素同時滿足上面兩個條件。

　　(2)

其中ε是一個懲罰大的a_k的正則化參數。使(2)最小，滿足

其中|W|是窗口W_k的像素總數。解得

　　(3)

　　(4)

如果設/p_k是輸入圖P在窗口W_k的平均值，μ_k和σ_k²是引導圖G在窗口W_k的平均值和方差。我們發現

　　(5)

　　(6)

其中是引導圖G和輸入圖P在W_k的協方差。

計算出a_k，b_k后，就可以根據(1)來計算窗口W_k的輸出像素。對於一個像素i，輸出值q_i和所有覆蓋像素i的窗口W_k有關。所以當W_k不同，q_i的值也不相同。一個簡單的策略是平均所有可能的q_i值。計算了所有覆蓋i的窗口W_k的a_k，b_k，所有覆蓋像素i的窗口W_k的個數為|W|，那么

　　(7)

　　(8)

其中，。

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特別的，當引導圖G和輸入圖像P相同的時候，導向濾波出現邊緣保持平滑特性，分析如下。當G=P時，很明顯，，由式(5)(6)得到，。當ε=0時，a_k=1，b_k=0，即輸出和輸入圖像相同。如果ε>0，考慮兩種情況。

第一種，高方差。如果圖像P在窗口W_k中有很多變化，那么σ_k²>>ε，有a_k≈1，b_k≈0。

第二種，平坦塊。那么σ_k²<<ε，有a_k≈0，b_k≈μ_k。如果整個輸入圖像都如窗口W_k似的很平坦的，當a_k，b_k被平均后得到/a_k≈0，/b_k≈μ_k，q_i≈μ_k。

這樣，當一個像素在高方差的窗口中時，它的輸出值是不變的。在平坦區域中，它的輸出值變成周圍窗口像素的平均值。具體的，高方差和平坦的標准是由參數ε控制的。如果窗口的方差比此參數小的多則被平滑，那么方差大得多的則被保留。而窗口的大小決定了是參考周圍多大范圍的像素來計算方差和均值。

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至此，已經可以根據(5)~(8)式計算導向濾波的參數，從而計算輸出圖像Q。導向濾波的的算法實現在下一篇文章介紹。下面把導向濾波用通用濾波器核來表達進行進一步分析。

導向濾波在像素點i的濾波結果可以表達為一個加權平均

　　(9)

其中i，j都是像素下標。濾波器核W_ij是引導圖G的函數並且與P獨立。下面計算濾波器核。把(6)帶入(8)消去b得到：

　　(10)

求偏導

　　(11)

其中

　　(12)

當j處於窗口W_k時，否則為0。

　　(13)

把(12)(13)帶入(11)得到

即

　　(14)

考慮含有邊緣階躍信號的圖像，如果i，j在邊緣的同一側，(g_i-μ_k)和(g_j-μ_k)符號相同，而當它們在邊緣的兩側時則符號不同。所以W_ij(G)當兩個像素點在邊緣的兩側時比在相同邊時要小得多。這就說明隔着邊緣的時候，p_j對結果的貢獻很小，窗口像素不會平均到一起。而當j和i在邊緣的同側時，輸出像素q_i是同側像素的加權平均值。加權系數由導向圖G決定。因此可以看到，導向濾波確實可以起到保留邊緣的作用。