算法設計與分析 - 主定理

主定理的作用：求解遞推方程。使用主定理，就可以不用迭代法。

條件：得判斷是否滿足3個條件中的一個。

 

T(n)=aT(n/b)+f(n)

• n：解的規模
• a：子問題的個數
• n/b：歸約后子問題的規模
• f(n)：除了子問題，要求解另外增加的計算代價，不參加遞歸。

 

定理：設a>=1，b>=1,為常數，f(n)為函數，T(n)為非負整數，且T(n)=aT(n/b)+f(n)，則有3個條件：

下面是主定理的三大條件：

1.f(n)=O(n^log_ba-ε)

存在ε>0，就是當n^log_ba的階高於f(n)時，可以存在ε使得n^log_ba-ε和f(n)的階相同。

此時取T(n)=θ(n^log_ba)。

2.f(n)=Θ(n^log_ba)

注意這時n^log_ba的階和f(n)的階相同，不需要ε。

此時取T(n)=Θ(n^log_balogn)。

3.f(n)=Ω(n^log_ba+ε)

首先得存在ε>0，就是當n^log_ba的階低於f(n)時，可以存在ε使得n^log_ba+ε和f(n)的階相同。

第二個要滿足的條件是：af(n/b)<=cf(n), c<1。

此時取T(n)=Θ(f(n))。

 

來幾道例題：

例一：求解遞推方程T(n)=9T(n/3)+n。

a=9,b=3,f(n)=n。

先判斷n^log_ba=n^log₃9=n²，階數高於n，存在f(n)=O(n^log_ba-ε)=O(n^2-1)，ε=1。

滿足主定理的條件1，所以T(n)=Θ(n^log_ba)=Θ(n²)。

 

例二：求解遞推方程T(n)=T(2n/3)+1。

a=1,b=3/2,f(n)=1。

先判斷n^log_ba=n^log_3/21=n⁰=1，和f(n)同階。

滿足主定理的條件2，所以T(n)=Θ(n^log_balogn)=Θ(logn)。

 

例三：求解遞推方程T(n)=3T(n/4)+nlogn。

a=3,b=4,f(n)=nlogn。

先判斷n^log_ba=n^log₄3≈n^0.793，階數低於nlogn，存在f(n)=Ω(n^0.793+ε)，給ε取0.2。

還得判斷是否滿足不等式：af(n/b)<=cf(n)，代入f(n)=nlogn，

3n/4log(n/4)和cnlog(n)，只要c>=3/4即可滿足<=的關系。

即滿足主定理的條件3，所以T(n)=Θ(f(n))=Θ(nlogn)。

 

總結一下，上面3例分別是主定理的3種滿足條件的遞推方程。實際上一直在判斷n^log_ba和f(n)的階，誰高，就取誰。同階取Θ(n^log_balogn)。

還有不能使用主定理的例子，這里就不列舉了。這3個例子的來源是   算法設計與分析 屈婉玲教授  的課上舉的例子。