定理
$\large{ax+by=c,x\in Z^*,y\in Z^*}$成立的充要条件是$\large{\gcd(a,b)|c}$
证明
设$\large {s=\gcd(a,b)}$，显然$\large{s|a}$，并且$\large {s|b}$
又因为$\large {x,y\in Z^*}$
所以$\large{s|ax,s|by}$
显然要使得之前的式子成立，则必须满足$\large c$是$\large a$和$\large b$的公约数的倍数
又因为$\large x$和$\large y$是正整数
所以$\large c$必然是$\large a,b$最大公约数的倍数。
因此，证得该定理成立
说明
该定理完全可以推广到若干数的线性组合