裴蜀定理

裴蜀定理：

定义：

若 \(a,b\) 不全为零，则存在 \(x,y\) ，使得 \(ax+by=gcd(a,b)\)

证明：

记住就行了，证明太长了不想写了.....

例题：

CF510D Fox And Jumping

题意：

给出 \(n\) 张卡片，分别有 \(l_i\) 和 \(c_i\)。在一条无限长的纸带上，你可以选择花 c_i 的钱来购买卡片 \(i\) ，从此以后可以向左或向右跳 \(l_i\) 个单位。问你至少花多少元钱才能够跳到纸带上全部位置。若不行，输出 \(-1\)。

分析：

先考虑两个数情况：想要跳到每一个格子上，必须使得这些数通过数次相加/减得出的绝对值为 \(1\) ，进而想到了裴蜀定理。

推出：如果 \(a\) 与 \(b\) 互质，那么一定存在两个整数 \(x,y\) ，使得 \(ax+by=1\)。

若选择的卡牌通过数次相加或相减得出的绝对值为 \(1\) ，那么这些数一定互质.

因此问题转化成：选择若干个数使得 \(gcd\) 是 \(1\) 的最小代价。

考虑类似于背包的动态规划：设 \(gcd=x\) 的最小代价为 \(f_x\), 则式子为：

\[x=2,3,4,....,l_i,f_{gcd(x,l_i)}=min(f_{gcd(x,l_i)},f_x+c_i) \]

但是时间复杂度不行。

我们考虑消去无用状态：用 \(map\) 记录，每次访问过的 \(x\) 进行转移，差不多能过。

然后直接写就行了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

map<int,int> mp;
int a[1005],b[1005];
int n;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(pair<int,int> x:mp){
            int num=__gcd(a[i],x.first);
            int val=x.second+b[i];
            if(mp[num]==0) mp[num]=val;
            else mp[num]=min(mp[num],val);
        }
        if(mp[a[i]]==0) mp[a[i]]=b[i];
        else mp[a[i]]=min(mp[a[i]],b[i]);
    }
    if(mp[1]==0) puts("-1");
    else printf("%d\n",mp[1]);
    system("pause");
    return 0;
}