1.3 行列式的性質與計算

一、行列式的性質

　　首先介紹轉置行列式的概念。　　定義：設有n階行列式D，現把D中行與列互換，即把D中第一行改成第一列，第二行改為第二列，…，第n行改為第n列，得到又一個n階行列式，稱它為行列式D的轉置行列式，記成或。　　即，則　　性質 1： 行列式與它的轉置行列式相等，即。　　例如，　　性質1表明：在行列式中，行與列的地位是平等的或對稱的，因而行列式有關於行的性質，對列也同樣成立。　　性質 2 ：用數 k 乘行列式 D 中某一行（或某一列）所得的行列式等於行列式 D 的 k 倍，換句話說，對行列式，可以按行（列）提出公因數。　　例如

　　　　例 1：計算行列式　　解：D中第二行元素有公因數2，第三行元素有公因數3，都可提出來，即

　　性質 3： 互換行列式的任意兩行（或兩列），行列式的值變號 　　例如　　推論 1 ：若行列式中有某兩行（列）相同，則此行列式為零。 　　推論 2 ：若行列式中有某兩行（列）元素對應成比例，則此行列式為零。 　　例如　　這是因為第一行元素與第三行元素對應成比例。　　性質 4 ：若行列式的某一行（或某一列）的每一元素均表為兩個數的和，則行列式可以按該行（列）拆成兩個行列式相加。 　　例如　　注意：在拆成兩個行列式相加時，應逐行或逐列拆，即，　　應該為　　　　　　　　　　　　　　　性質 5 ：把行列式 D 的某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上，行列式的值不變。 　　例如

　　例 2：已知104，273，351均能被13整除，　　證明：行列式也能被13整除　　證：把D的第一列的100倍，第二列的10倍均加到第三列上，得　　　　　，而的值必是整數。　　　所以D的值為13的整數倍，即D能被13整除。證畢。

　　例 3：證明的充要條件是或　　證：　　　　　　　　　　　證畢。

　　由以上行列式性質與展開定理，可得　　定理3.1設有n階行列式，則，，即行列式D中任意一行（列）各元素與另一行（列）對應元素的代數余子式的乘積之和必等於零。　　

二、行列式的計算

　　行列式的計算主要有以下兩種基本方法 　　（ 1 ）利用行列式性質，把原行列式化為上（下）三角行列式求值。 　　（ 2 ）利用性質，先把行列式中某一行（或某一列）的元素盡可能多的化為零，然后再按該行或列展開，把階數逐步降下來。

　　例 4：計算行列式　　解：方法一，化為上三角行列式　　　　　　方法二 展開降階法 　　由於D中第4列已有兩個元素為零，利用性質5，再把一個元素化為零。　　　　　　　

　　例5：計算n階行列式　　解 方法一 　　這個行列式的特點是每行元素的和均為，（稱它為行和相同行列式），可采用以下方法求其值，先把后n-1個列都加到第1列上，提出第1列的公因數，再將后n-1個行都減去第一行。　　　　　方法二考慮到D中每一行上有很多元素為b，采用“加邊法”，即造一個與D相等的n+1階行列式。　　當時，顯然，不妨設　　　　　　　　　　　