行列式概念和性質-總結

• 把n各不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列，對於n個不同的元素，先規定各元素之間有一個標准次序，於是在這n個元素的任一排列中，當某兩個元素的先后次序玉標准次序不同時，就說有一個逆序。一個排列中所有逆序的總數叫做這個排列的逆序數。逆序數為奇數的排列叫做奇排列，逆序數為偶數的排列叫做偶排列。
• n階行列式的定義：設有n²個數，排成n行n列的數表：

  a11	a12	...	a1n
  a21	a22	...	a2n
  ...	...	...	...
  an1	an2	...	ann

  做出表中位於不同行不同列的n個數的乘積，並冠以符號（-1）^t ，得到形如：（-1）ta_1p1a_2p2...anpn的項，其中p₁p₂...p_n為自然數1，2，...，n的一個排列，t為這個排列的逆序數，由於這樣的排列共有n！個，因而形如這樣的項共有n！項，所有這n！項代數和為：Σ(-1)^ta_1p1a_2p2...a_{npn。 稱為n階行列式。}
• 對角行列式的性質：

• 行列式對換的性質：

 

 

定理一 ：一個排列中的任意兩個元素對換沒排列改變奇偶性

推論： 奇排列變成標准排列的對換次數為奇數，偶排列變成標准排列的對換次數為偶數。

• 行列式的性質：

性質1：行列式和它的轉置行列式相等。

性質2：互換行列式的兩行（列），行列式變號。

性質3：如果橫列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等於零。

性質4：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數k，等於用數k乘以此行列式

性質5：行列式中如果有兩行（列）的成比例，則此行列式等於0.

性質6：若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和，則此行列式等於兩個行列式之和。

性質7：把行里是的某一列（行）的各元素乘以同一數然后加到另一列（行）對應的元素上去，行列式不變。