1.3 行列式的性质与计算

一、行列式的性质

　　首先介绍转置行列式的概念。　　定义：设有n阶行列式D，现把D中行与列互换，即把D中第一行改成第一列，第二行改为第二列，…，第n行改为第n列，得到又一个n阶行列式，称它为行列式D的转置行列式，记成或。　　即，则　　性质 1： 行列式与它的转置行列式相等，即。　　例如，　　性质1表明：在行列式中，行与列的地位是平等的或对称的，因而行列式有关于行的性质，对列也同样成立。　　性质 2 ：用数 k 乘行列式 D 中某一行（或某一列）所得的行列式等于行列式 D 的 k 倍，换句话说，对行列式，可以按行（列）提出公因数。　　例如

　　　　例 1：计算行列式　　解：D中第二行元素有公因数2，第三行元素有公因数3，都可提出来，即

　　性质 3： 互换行列式的任意两行（或两列），行列式的值变号 　　例如　　推论 1 ：若行列式中有某两行（列）相同，则此行列式为零。 　　推论 2 ：若行列式中有某两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。 　　例如　　这是因为第一行元素与第三行元素对应成比例。　　性质 4 ：若行列式的某一行（或某一列）的每一元素均表为两个数的和，则行列式可以按该行（列）拆成两个行列式相加。 　　例如　　注意：在拆成两个行列式相加时，应逐行或逐列拆，即，　　应该为　　　　　　　　　　　　　　　性质 5 ：把行列式 D 的某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上，行列式的值不变。 　　例如

　　例 2：已知104，273，351均能被13整除，　　证明：行列式也能被13整除　　证：把D的第一列的100倍，第二列的10倍均加到第三列上，得　　　　　，而的值必是整数。　　　所以D的值为13的整数倍，即D能被13整除。证毕。

　　例 3：证明的充要条件是或　　证：　　　　　　　　　　　证毕。

　　由以上行列式性质与展开定理，可得　　定理3.1设有n阶行列式，则，，即行列式D中任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和必等于零。　　

二、行列式的计算

　　行列式的计算主要有以下两种基本方法 　　（ 1 ）利用行列式性质，把原行列式化为上（下）三角行列式求值。 　　（ 2 ）利用性质，先把行列式中某一行（或某一列）的元素尽可能多的化为零，然后再按该行或列展开，把阶数逐步降下来。

　　例 4：计算行列式　　解：方法一，化为上三角行列式　　　　　　方法二 展开降阶法 　　由于D中第4列已有两个元素为零，利用性质5，再把一个元素化为零。　　　　　　　

　　例5：计算n阶行列式　　解 方法一 　　这个行列式的特点是每行元素的和均为，（称它为行和相同行列式），可采用以下方法求其值，先把后n-1个列都加到第1列上，提出第1列的公因数，再将后n-1个行都减去第一行。　　　　　方法二考虑到D中每一行上有很多元素为b，采用“加边法”，即造一个与D相等的n+1阶行列式。　　当时，显然，不妨设　　　　　　　　　　　