8.0 序
工程設計過程主要包括以下幾個過程：
1.定義規格與其他設計目標
2.提出一個電路。這是一個創造性的過程，需要利用工程師的實際見識和經驗。
3.對電路進行建模。變換器的功率級建模方法已經在第7章給出。系統各元件和其他部分通常使用供應商提供的數據進行建模。
4.對電路進行面向設計的分析。這就涉及到了方程的建立，這些方程可以通過選擇不同的元素值從而滿足設計規格和設計目標。此外，工程師有必要對電路特性有更多的了解和物理角度的見解，從而可以通過向電路中添加元件或更改電路的連接改進設計。
5.模型驗證。在常規條件下，將模型與實驗室原型產品進行比較。可以根據需要對模型進行改進，從而使得模型預測的結果與實驗室測量結果保持一致。
6.進行電路最惡劣條件分析(或其他可靠性分析和成品率分析)。這就涉及到了模型性能的定量評估，判斷是否在所有條件下都滿足設計要求。計算機仿真非常適合做這個分析。
7.迭代。重復上述步驟來改進設計，直到最壞情況下的特性都滿足規范，或直到可靠性或者良品率都達到可接受的高水平為止。
本章涵蓋了步驟4,5和6中需要的面向設計的分析技術，實驗傳遞函數測量和計算機仿真。
第8.1到8.3節討論了分析和構建變換器傳遞函數，輸入阻抗和輸出阻抗的波特圖技術，並且這里的方程都由第7章的等效電路模型得到。比如說，buck-boost變換器的小信號等效電路模型如圖7.18c所示。這個模型如圖8.1所示，其中標識了非常重要的輸入和輸出端口阻抗。通過將占空比變化量\(\hat{d}(s)\)設置為0，求解從\(\hat{v}_{g}(s)\)到\(\hat{v}(s)\)的傳遞函數就得到了輸入輸出傳遞函數\(G_{vg}(s)\)：
Fig. 8.1 Small-signal equivalent circuit model of the buck–boost converter, as derived in Chap. 7
這個傳遞函數描述了輸入電壓\(v_{g}(t)\)的變化或者擾動是如何導致輸出電壓\(v(t)\)的擾動的。在設計輸出電壓控制器時，這一點是非常重要的。例如，在一個off-line(譯者：非交流直接供電，需要轉換，含義模糊)供電系統中，變換器的輸入電壓\(v_{g}(t)\)包含不期望的交流電源電壓的偶次諧波。\(G_{vg}(s)\)就可以用來研究這些諧波對變換器輸出電壓\(v(t)\)的影響。
控制到輸出的傳遞函數\(G_{vd}(s)\)是通過將輸入電壓的變化量\(\hat{v}_{g}(s)\)設置為0，從而求解\(\hat{v}(s)\)關於\(\hat{d}(s)\)的函數關系：
這個傳遞函數描述了控制輸入的變化量\(\hat{d}(s)\)是如何影響輸出電壓\(\hat{v}(s)\)的。在一個輸出電壓控制系統中，\(G_{vd}(s)\)是環路增益的重要組成部分，對調節器的性能有重要影響。
在\(\hat{v}_{g}(s)\)和\(\hat{d}(s)\)都被設為0時，就可以求出輸出阻抗\(Z_{out}(s)\)。輸出阻抗\(Z_{out}(s)\)描述了負載電流的變化是如何影響輸出電壓的。這個量對於輸出電壓控制器的設計也是非常重要的。並且在定義\(Z_{out}(s)\)時，是否包含負載電阻應視情況而定。
當在變換器的電源輸入端口添加EMI濾波器時，變換器的輸入阻抗就變得非常重要。\(Z_{in}\)和EMI濾波器的輸出阻抗幅值相對大小影響着EMI濾波器是否會干擾傳遞函數\(G_{vd}(s)\)。EMI濾波器的設計是第17章的主要內容。
本章的目的是構建傳遞函數和開關變換器端口阻抗的波特圖。例如，圖8.2給出了圖8.1所示buck-boost變換器模型的\(G_{vd}(s)\)的幅值和相角圖。幅值和相位漸進線的構建方法在8.1節中進行了回顧，其中包括了兩種常在變換器傳遞函數中出現的特征：諧振和右半平面零點。buck-boost變換器的小信號傳遞函數的bode圖構建在8.2節中進行了詳細的描述，並且基本的buck，boost以及buck-boost變換器的傳遞函數都以表格形式列出。還對右半平面物理原理進行了描述。
Fig. 8.2 Bode plot of control-to-output transfer function predicted by the model of Fig.8.1, with analytical expressions for the important features
電路分析(步驟中的第4步)中通常遇到的困難是模型的復雜性：實際電路中可能包含數百個元件，因此對其分析可能會導致復雜的推導，棘手的方程式以及可能出現大量的代數錯誤。面向設計的分析是可以減輕這些問題的工具和技術的合集。本章介紹了一些用於設計復雜變換器系統的工具。以規范化的形式編寫傳遞函數可直接暴露響應的重要特征。這些特征和漸近線的解析表達式產生了在設計中有用的簡化方程式。傳遞函數多項式的分離根是很簡單的。8.3節給出了一種構建傳遞函數和阻抗bode圖的圖形化方法，其本質是觀察法。這種方法可以：(1) 減小代數和相關的代數錯誤； (2) 對電路特性可以有更深入的理解，可用於設計電路；(3) 得到重要觀察結果以作出合適的近似來使方程更加容易求解。第四部分介紹了一些更高級的面向設計的分析方法。
傳遞函數和阻抗的實驗測量(第4步，模型驗證中需要)在第8.5節中進行了討論。在第14章中介紹了使用計算機仿真來繪制傳遞函數bode圖。(第6步的最惡劣情況分析)
8.1 Bode圖回顧
Bode圖就是傳遞函數或者其他復數量的幅值和相角關於頻率的圖。使用半對數坐標軸繪制了以分貝為單位的幅值和度為單位的相位與頻率的關系。幅值圖實際上是對數-對數坐標圖，因為幅值以分貝表示，而頻率軸是對數。
無量綱值\(G\)的大小可以用分貝表示如下：
表8.1列出了一些常見幅值的分貝值。必須要注意的是，要使用無量綱的值。因為獲取有量綱數的對數是不合適的，所以必須將大小標幺化。例如，為了表示以分貝為單位的阻抗\(Z\)的大小，我們應該除以基准阻抗\(R_{base}\)來歸一化：
Table 8.1 Expressing magnitudes in decibels
\(R_{base}\)的選取是任意的，但我們必須告訴別人我們選擇的是哪個值。所以，如果\(||Z||\)是\(5\ \Omega\)，我們選擇的\(R_{base}\)是\(10\ \Omega\)，那么我們就可以說，相對於\(10\ \Omega\)，\(||Z||_{dB}=20log_{10}(5\Omega/10\Omega)=-6\ dB\)。常用的選擇是\(R_{base}=1\Omega\)，用\(R_{base}=1 \ \Omega\)表示的分貝阻抗常被稱為\(dB\Omega\)。因此，\(5 \ \Omega\)等效於\(14dB \Omega\)。變換器輸入端口的電流開關紋波，通常以\(dB\mu A\)表示，或使用\(1 \ \mu A\)的電流基准以\(dB\)表示：\(60dB \mu A\)等效於\(1000 \ \mu A\)或者\(1\ mA\)。
幅值等於\(f\)的冪函數的Bode圖的是線性的。例如，假設無量綱值\(G(f)\)的幅值大小為：
其中\(f_{0}\)和\(n\)為常數。將幅值以對數形式表述為：
圖8.3給出了以不同\(n\)值繪制出的該方程的曲線。頻率在\(f=f_{0}\)處，幅值為1也就是\(0\ dB\)。他們是\(log_{10}(f)\)的函數。\(log_{10}(f)\)單位變化引起的\(||G||_{dB}\)的變化就是其斜率：\(log_{10}(f)\)的單位增加對應於\(f\)的10倍增加。從式(8.6)中，\(f\)的十倍頻程增加使得\(||G||_{dB}\)增加了\(20n\ dB\)。因此，這里的斜率就是\(20n \ dB\)每十倍頻程。等效的，我們也可以說斜率為\(20n\ log_{10}(2)\approx 6n\ dB\)倍頻程(per octave)，其中倍頻程(per octave)指的是頻率以系數2增加。實際中，大多數頻率相關函數的幅值通常可以在有限的頻率范圍內通過式(8.5)所示的函數來近似；在這個頻率范圍內，bode圖幅值的大小近似與\(20n\ dB/decade\)(\(20n \ dB\)每十倍頻程)。
Fig. 8.3 Magnitude Bode plots of functions which vary as \(f_{n}\) are linear, with slope \(n\ dB\) per decade
一個形如式(8.5)所示的簡單傳遞函數，其極點為原點：
其幅值為：
如果定義\(f=\omega/2\pi\)以及\(f_{0}=\omega_{0}/2\pi\)，式(8.8)變為：
這就是式(8.5)中\(n=-1\)的情況。如圖8.3所示，原式為(8.7)的極點為原點的式子的bode圖幅值斜率為\(-20 \ dB\)每十倍頻程，並且在\(f=f_{0}\)時穿過\(0\ dB\)。
8.1.1 單極點響應
考慮圖8.4所示的簡單低通RC濾波器。傳遞函數由分壓比得到：
Fig. 8.4 Simple R–C low-pass filter example
這個傳遞函數是電壓的比值，所以其是無量綱的。將分子與分母乘以\(sC\)，可以將傳遞函數表示為有理分數：
現在將傳遞函數與以下針對單極標准歸一化形式一致：
參數\(\omega_{0}=2\pi f_{0}\)，令式(8.11)和(8.12)中的\(s\)的系數相等，結果為：
由於\(R\)和\(C\)是正實數，\(\omega_{0}\)也是正實數。式(8.12)的根為\(s=-\omega_{0}\)，因此，\(G(s)\)在復平面的左半平面有一個實極點。
為了求解傳遞函數的幅值和相角，我們讓\(s=j\omega\)，其中\(j\)是-1的平方根。然后我們就可以得到復數函數的幅值大小和相位。當\(s=j\omega\)時，式(8.12)變為：
對於某個特定的\(\omega\)值，復數\(G(j\omega)\)如圖8.5所示。其幅值為：
Fig. 8.5 Magnitude and phase of the complex-valued function \(G(jω)\)
在此我們假定\(\omega_{0}\)是實數，以分貝為單位時，幅值為：
繪制\(G\)的bode圖的一種簡單方法就是分析較大頻率與較小頻率的漸進特性。
在頻率較小時，\(\omega<<\omega_{0}\)，\(f<<f_{0}\)，那么有：
因此，式(8.15)中的\((\omega/\omega_{0})^2\)遠小於1，所以該式變為：
在對數上，幅值近似為：
因此，如圖8.6，\(||G(j\omega)||_{dB}\)漸進為\(0\ dB\)。
在高頻段，\(\omega>>\omega_{0}\)，\(f>>f_{0}\)，那么有：
那么可以認為：
那么式(8.15)現在變為：
這個表達式與\(n=-1\)時的式(8.5)是一致的。所以，如圖8.6所示，在高頻段\(||G(j\omega)||_{dB}\)斜率為\(-20\ dB\)每十倍頻程。也就是，\(||G(j\omega)||\)低頻漸進線為1，高頻時為\((f/f_{0})^{-1}\)。漸近線的交截點頻率為\(f_{0}\)。實際的幅值在頻率較大和較小的時候趨近於上述的漸近線，而在轉折頻率\(f_{0}\)附近，實際幅值曲線與漸近線略有偏差。
Fig. 8.6 Magnitude asymptotes for the single real pole transfer function
實際曲線與漸近線的偏差可以通過式(8.15)進行求解。在轉折頻率\(f=f_{0}\)時，時(8.15)變為：
以分貝表示，該幅值為：
因此，如圖8.7所示，實際曲線與漸近線在轉折頻率處偏差為\(-3\ dB\)。類似的方法可知，實際曲線與漸近線在\(f=f_{0}/2\)與\(f=2f_{0}\)處的偏差為\(-1\ dB\)。
Fig. 8.7 Deviation of the actual curve from the asymptotes, real pole
\(G(j\omega)\)的相角為：
將(8.14)的實部和虛部代入上式，可以得到：
這個函數如圖8.8所示。其在低頻趨近於0°，在高頻趨近於-90°。在轉折頻率\(f=f_{0}\)處，相角為-45°。
Fig. 8.8 Exact phase plot,real pole
由於高頻與低頻的相角漸進線並沒有相交，我們還需要第三條漸進線來對轉折頻率\(f_{0}\)附近的相位進行近似。圖8.9給出了一種方法，其中漸進線的斜率選擇為\(f=f_{0}\)的實際曲線的斜率相同。可以證明，在這種選擇的情況下，漸近線相交的頻率\(f_{a}\)和\(f_{b}\)的頻率為：
Fig. 8.9 One choice for the mid-frequency phase asymptote, which correctly predicts the actual slope at \(f=f_{0}\)
可以更好地逼近實際曲線的另一種方式是令：
這種漸進方式與實際曲線的對比如圖8.10所示。極點導致了相位在以轉折頻率為中心的大約兩個十倍頻程跨度內變化。在這個頻率范圍內的漸近線的斜率為-45°每十倍頻程。在拐點頻率\(f_{a}\)和\(f_{b}\)處，實際相位於漸進線的偏差角度為\(tan^{-1}(0.1)=5.7°\)。
Fig. 8.10 A simpler choice for the mid-frequency phase asymptote, which better approximates the curve over the entire frequency range
圖8.11整理了單極點響應的幅值和相角漸進曲線。比較好的習慣是始終以等式(8.12)的形式來表示單極傳遞函數。式(8.12)中分母中的兩項都是無量綱的，並且\(s^{0}\)項的系數為單位1。由於是歸一化的形式，式(8.12)很容易理解。在低頻下，\((s/\omega_{0})\)在幅值上較小，傳遞函數近似為1。在高頻\((s/\omega_{0})\)的幅值遠大於1，傳遞函數近似為\((s/\omega_{0})^{-1}\)。那么其幅值為\((f/f_{0})^{-1}\)。轉折頻率\(f_{0}=\omega_{0}/2 \pi\)。因此傳遞函數是根據其顯著特征(漸近線和轉折頻率)直接編寫的。
Fig. 8.11 Summary of the magnitude and phase Bode plot for the single real pole
8.1.2 單零點響應
單零點響應在傳遞函數的分子上包含一個根，並且可以寫為如下的標准形式：
這個傳遞函數的幅值為：
在低頻段，\(f<<f_{0}=\omega_{0}/2\pi\)，傳遞函數的幅值為\(1 \Rightarrow 0\ dB\)。在高頻段，\(f>>f_{0}\)，傳遞函數的幅值趨近於\((f/f_{0})\)。如圖8.12所示，高頻漸進線為\(+20\ dB\)每十倍頻程。相角可以表示為：
除了負號以外，上式與式(8.26)完全一樣。因此，漸近線如圖8.12所示。在低頻時，相位趨近於0°，高頻時相位趨近於+90°。在區間\(f_{0}/10<f<10f_{0}\)內，相位漸近線的斜率為\(+45°\)每十倍頻程。
Fig. 8.12 Summary of the magnitude and phase Bode plot for the single real zero
8.1.3 右半平面零點
在開關變換器的小信號傳遞函數中經常會遇到右半平面零點。這些項通常具有以下的標准形式：
式(8.32)的根為正值，因此其位於\(s\)復平面的右半平面。右半平面零點有時也被稱為非最小相位零點。其標准化形式為(8.32)，除了\(s\)的系數的負號以外，與左半平面零點的標准形式相同。負號導致了高頻處相位的反轉。
傳遞函數的幅值為：
這個表達式與式(8.30)是相同的。因此，從幅值上來說，並不能將右半平面零點與左半平面零點分開。其相角為：
這與式(8.26)的單極點的相位表達式相同。因此，右半平面零點呈現左半平面零點的幅值響應，但相角響應與左半平面極點相同。圖8.13總結了其幅值和相角的漸近線。
Fig. 8.13 Summary of the magnitude and phase Bode plot for the single real RHP zero
8.1.4 頻率翻轉
將現有的bode特性圖高低頻特性反轉(譯者：把傳遞函數中的\(s/\omega_{0}\)變為\(\omega_{0}/s\)，又可以得到額外的兩種形式。翻轉的單極點響應的傳遞函數為：
如圖8.14，單極點響應翻轉后的bode特性，高頻增益為1，低頻漸近線斜率為\(+20\ dB\)每十倍頻程。這種形式可以用來描述那些高通濾波器的增益，以及在需要強調高頻增益，低頻衰減的其他傳遞函數的增益。式(8.35)等效於：
但是，式(8.35)更直觀的強調了高頻增益為1的特性。
Fig. 8.14 Inversion of the frequency axis: summary of the magnitude and phase Bode plots for the
inverted real pole
將單零點傳函bode圖特性進行頻率翻轉后:
如圖8.15所示，將單零點傳函bode圖特性進行頻率翻轉后，高頻增益漸進趨於1，而低頻漸進斜率為\(-20\ dB\)每十倍頻程。這種形式傳遞函數的一個應用就是PI控制器( proportional-plus-integral controller)，將在下一章中與反饋回路設計有關的內容里進行討論。式(8.37)等效於：
然而，當需要強調其高頻增益漸進線時，式(8.37)是更好的選擇。
Fig. 8.15 Inversion of the frequency axis: summary of the magnitude and phase Bode plot for the inverted real zero
下一節將舉例說明如何使用頻率反轉。
8.1.5 組合
對於包含若干個極點，零點以及增益項的傳遞函數的伯德圖，可以通過簡單的加法來構造。在任何給定的頻率下，復合傳遞函數的大小(以分貝為單位)等於各個項分貝總和。同樣的，在給定頻率下，復合傳遞函數的相位也是各項相角之和。
例如，假設我們已經構建了兩個關於\(\omega\)的復函數，\(G_{1}(\omega)\)和\(G_{2}(\omega)\)。這兩個函數的幅值為\(R_{1}(\omega)\)，\(R_{2}(\omega)\)，相角為\(\theta_{1}(\omega)\)和\(\theta_{2}(\omega)\)。我們希望構建乘積項\(G_{3}(\omega)=G_{1}(\omega)G_{2}(\omega)\)。並且設\(G_{3}(\omega)\)的幅值和相角分別為\(R_{3}(\omega)\)和\(\theta_{3}(\omega)\)。為了求解這個幅值和相角，我們將\(G_{1}(\omega)\)，\(G_{2}(\omega)\)和\(G_{3}(\omega)\)寫成極坐標的形式：
乘積項\(G_{3}(\omega)\)可以表示為：
因此，相位為：
總幅值為：
以分貝形式表示時，式(8.43)變為：
因此，復合后的傳遞函數，總相位為各個相位之和，以分貝表示時，總幅值就是各個幅值之和。所以，在以\(dB\)每十倍頻程為單位時，總幅值的斜率也就是各個部分幅值斜率之和。
例如，考慮下面傳遞函數的bode圖的構建：
其中\(G_{0}=40\ \Rightarrow\ 32dB\)，\(f_{1}=\omega_{1}/2\pi=100\ Hz\)，\(f_{2}=\omega_{2}/2\pi=2\ kHz\)。該傳遞函數包含三個部分：增益\(G_{0}\)，以及頻率為\(f_{1}\)和\(f_{2}\)的兩個極點。圖8.16給出了其中各項的漸進線。\(G_{0}\)是一個正實數，因此其增益為\(32\ dB\)並且對相位無影響。在\(100\ Hz\)和\(2\ kHz\)處分別產生了如圖8.11所示的漸近線。
Fig. 8.16 Construction of magnitude and phase asymptotes for the transfer function of Eq. (8.45). Dashed lines: asymptotes for individual terms. Solid lines: composite asymptotes
在頻率小於\(100\ Hz\)時。\(G_{0}\)項貢獻的幅值增益為\(32\ dB\)，其他兩個極點的漸近線均為\(0\ dB\)。所以，低頻總幅值漸進線為\(32\ dB\ +\ 0\ dB\ +\ 0\ dB=\ 32\ dB\)。在位於\(100\ Hz\)到\(2\ kHz\)的頻率范圍內，\(G_{0}\)仍貢獻\(32\ dB\)的增益，\(2\ kHz\)單極點項幅值漸近仍然為\(0\ dB\)，只不過這時\(100\ Hz\)處單極點項的幅值斜率已經是\(-20\ dB\)每十倍頻程。如圖8.16，總幅值的漸近線也會以\(-20\ dB\)每十倍頻程下降。在大於\(2\ kHz\)的頻率范圍內，\(100\ Hz\)和\(2\ kHz\)的單極點幅值漸近線斜率均為\(-20\ dB\)每十倍頻程。如圖所示，總的幅值漸近線就以\(-40\ dB\)每十倍頻程下降。
圖8.16還給出了總相位漸進線。在\(10\ Hz\)以下，各部分的相位漸進線都是0°。在\(f_{1}/10=10\ Hz\)到\(f_{2}/10=200\ Hz\)頻率范圍內，\(f_{1}\)處的極點使得相位以\(-45°\)每十倍頻程遞減。在\(200\ Hz\)到\(10f_{1}=1\ kHz\)頻率范圍內，兩個極點貢獻的斜率均為\(-45°\)每十倍頻程，總斜率為\(-90°\)每十倍頻程。在\(1\ kHz\)到\(10f_{2}=\ 20\ kHz\)范圍內，\(f_{1}\)處的極點貢獻的相角漸近線恆為\(-90°\)，而\(f_{2}\)處極點造成的相位漸近線斜率為\(-45°\)每十倍頻程。所以這段頻率范圍內，總斜率為\(-45°\)每十倍頻程。對於大於\(20\ kHz\)的頻率范圍，兩個極點貢獻的相位漸近線均為\(-90°\)。因此，總相位漸近線為\(-180°\)。
作為第二個示例，考慮圖8.17所示的幅值和漸近線表示的傳遞函數\(A(s)\)。讓我們來寫出這些漸近線對應的傳遞函數。直流漸近線為\(A_{0}\)。在轉折頻率\(f_{1}\)處，漸近線斜率從\(0\ dB\)增加到\(+20\ dB\)每十倍頻程。因此，在\(f_{1}\)處一定存在一個零點。在頻率\(f_{2}\)處，漸近線斜率從\(+20\ dB\)減小到\(0\ dB\)每十倍頻程。因此，傳遞函數包含一個頻率為\(f_{2}\)的極點。所以我們可以將傳遞函數表示為：
其中\(\omega_1\)和\(\omega_{2}\)分別等於\(2\pi f_{1}\)和\(2\pi f_{2}\)。
Fig. 8.17 Magnitude and phase asymptotes of example transfer function A(s)
我們可以利用式(8.46)來推導漸近線的表達式。對\(f<f_{1}\)，讓\(s=j\omega\)，我們可以看到\((s/\omega_{1})\)和\((s/\omega_{2})\)的幅值都小於1。那么分析漸近線時就忽略這些項。因此，低頻幅值漸近線為：
當\(f_{1}<f<f_{2}\)，分子項\((s/\omega_{1})\)幅值大於1，而分母項\((s/\omega_{2})\)幅值小於1。對於漸近線，可以通過忽略較小項來推導：
這就是\(A(s)\)的中頻幅值漸近線的表達式。對\(f>f_{2}\)頻段，\((s/\omega_{1})\)和\((s/\omega_{2})\)的幅值都大於1。高頻漸近線的表達式為：
總結下，高頻增益為：
因此我們可以就可以得到漸近線的表達式了。
利用極點和零點的翻轉，還可以將\(A(s)\)寫成另一種形式。假設\(A(s)\)代表高頻放大器的傳遞函數，其直流增益並不重要。然后，我們期望使用高頻增益\(A_{\infty}\)來表示\(A(s)\)。可以將傳遞函數視為在頻率\(f_{2}\)處有一個翻轉的極點，這會在小於\(f_{2}\)頻率處引起幅值衰減。此外，在\(f=f_{1}\)頻率處，還有一個翻轉的零點。因此\(A(s)\)可以表示為：
可以驗證，式(8.51)和(8.46)是等效的。
8.1.6 雙極點響應：諧振
Fig. 8.18 Two-pole low-pass filter example
接下來考慮圖8.18所示的雙極點低通濾波器的傳遞函數\(G(s)\)。降壓變換器就包含此類低通濾波器(輸出的LC濾波器)。當轉化為規范形式時，boost和buck-boost變換器的模型中也包含類似的變換器。可以看出，該電網絡的傳遞函數為：
該傳遞函數的分母包含一個二階多項式，其形式為：
其中，\(a_{1}=L/R\)，\(a_{2}=LC\)。
要構建這個傳遞函數的bode圖，我們可以嘗試將分母分解為兩個根乘積形式：
利用二次方程求根公式可以得到：
如果\(4a_{2} \leq a_{1}^{2}\)，那么根為實數。每一個實極點都如8.1.1節展現出相應的bode特性，並且復合的bode圖可以根據8.1.5節的描述來構建(但8.1.7節給出了一種更好的方法)。
如果\(4a_{2}>a_{1}^{2}\)，那么式(8.55)和(8.56)的解為復數。在第8.1.1節中，以\(\omega_{0}\)是實數進行假設，因此，該節的結果並不能用於這里的情況。我們需要在根為復數的情況下做一些額外的工作來確定幅值和相角。式(8.52)和(8.53)可以用以下的標准形式重新寫出：
如果系數\(a_{1}\)和\(a_{2}\)是正實數，那么參數\(\zeta\)和\(\omega_{0}\)也是正實數。參數\(\omega_{0}\)仍然是轉折頻率，並且我們定義\(f_{0}=\omega_{0}/2 \pi\)。參數\(\zeta\)被稱為阻尼系數：\(\zeta\)控制了\(f=f_{0}\)附近的傳遞函數特性的形狀。另一種標准形式為：
其中
參數\(Q\)被稱為電路的品質因數，並且可以衡量系統的耗散程度。對於無源元件或者網絡的正弦激勵，\(Q\)的更一般的定義為：
對於二階無源系統，式(8.59)和(8.60)是等效的。我們將會看到，在二階傳遞函數的幅值bode特性上，系數\(Q\)具有非常簡單的定義。
參數\(Q\)和\(\omega_{0}\)的解析表示可以通過令式(8.52)的原始傳遞函數和標准式(8.58)的同次冪式對比得到。其結果為：
當\(Q \leq 0.5\)時，式(8.55)和(8.56)的根\(s_{1}\)和\(s_{2}\)為實數，並且當\(Q>0.5\)時為復數。
\(G\)的幅值為：
圖8.19給出了\(||G||\)的漸近線。在低頻段，\((\omega / \omega_{0})<<1\)，因此：
在高頻段，\((\omega / \omega_{0})>>1\)，\((\omega /\omega_{0})^{4}\)項主導了根式內部的結果(譯者：也就是根式值取決於該項)，因此，高頻漸進線為：
這個表達式與\(n=-2\)時的式(8.5)是等效的。因此其高頻漸近線斜率為\(-40\ dB\)每十倍頻程。漸近線的交截點再\(f=f_{0}\)，並且與\(Q\)無關。
Fig. 8.19 Magnitude asymptotes for the two-pole transfer function
參數\(Q\)實際影響着轉折頻率\(f_{0}\)附近實際曲線與漸近線之間的偏差。在\(f=f_{0}\)處的實際幅值可以將\(\omega=\omega_{0}\)代入式(8.62)得到：
所以實際傳遞函數在轉折頻率\(f_{0}\)處的幅值為\(Q\)。以分貝表示時，式(8.65)變為：
因此，現在如果假設\(Q=2 \Rightarrow6\ dB\)，那么實際曲線與漸近線在轉折頻率\(f=f_{0}\)處的偏差就達到了\(6dB\)。圖8.20給出了二階傳遞函數幅值bode圖的顯著特征。
Fig. 8.20 Important features of the magnitude Bode plot, for the two-pole transfer function
\(G\)的相位為：
在低頻段，相角趨近於0°，在高頻段趨近於-180°。在\(f=f_{0}\)處，相角為-90°。如圖8.21，\(Q\)值的增加使得0°與-180°漸近線之間的相位改變更加陡峭。這里我們仍然需要一個中頻漸近線，來近似轉折頻率\(f_{0}\)附近的相角變化，如圖8.22所示。在實際中為單極點的情況時，我們可以將漸近線的斜率設置為與\(f=f_{0}\)時實際曲線的斜率相同。可以證明，這種選擇會得到以下漸近線的穿越頻率：
Fig. 8.21 Phase plot, second-order poles. Increasing Q causes a sharper phase change
Fig. 8.22 One choice for the mid-frequency phase asymptote of the two-pole response, which
correctly predicts the actual slope at \(f = f_{0}\)
作為另一種更好的近似選擇，可以與式(8.28)采用的對實極點的近似方法保持一致：
在這種情況下，中頻漸近線的斜率為\(-180Q°\)每十倍頻程。相位漸近線如圖8.23所示。在\(Q=0.5\)的情況下，以轉折頻率\(f_{0}\)為中心，在大約二十倍頻程的跨度內，相位從0°變為-180°。增加\(Q\)會使這個頻率跨度范圍迅速降低。
圖8.24和8.25繪制了二階響應的幅值和相位曲線。
Fig. 8.23 A simpler choice for the mid-frequency phase asymptote, which better approximates the curve over the entire frequency range and is consistent with the asymptote used for real poles
Fig. 8.24 Exact magnitude curves, two-pole response, for several values of Q
Fig. 8.25 Exact phase curves, two-pole response, for several values of Q
8.1.7 低\(Q\)值逼近
正如8.1.6節所述，當式(8.53)的二階分母多項式的根為實數時，那么我們就可以分解分母，並使用漸近線來構造實極點的bode圖。我們可以使用如下的標准形式：
當轉折頻率\(\omega_{1}\)和\(\omega_{2}\)分隔較遠時，這是比較理想的方法。
這個過程的困難之處在於用於確定轉折頻率的二次方程的復雜性。特別是當電路包含元件較多時，用電路元件\(R,L,C\)等來表示轉折頻率\(\omega_{1}\)和\(\omega_{2}\)總是得到復雜且模糊的表述公式。即使在傳遞函數由式(8.52)給出的如圖8.18所示的簡單電路中，常規的二次方程使得轉折頻率如下式般復雜：
對於轉折頻率與這些元件值之間的關系，上式並不能給出比較直觀的結果。打個比方，可以證明，當轉折頻率的值分隔較遠時，可以通過更簡單的關系來高精度的表示他們：
在這種情況下，\(\omega_{1}\)基本上與\(C\)的值無關，而\(\omega_{2}\)的值基本上與\(L\)無關。而式(8.71)顯然顯示兩個轉折頻率都與所有元件值有關。式(8.72)的簡化公式比(8.71)更適合，並且其可以很容易的利用低\(Q\)近似得到。
讓我們假設傳遞函數已經以式(8.58)的標准形式寫出，這里再次給出：
當\(Q<0.5\)時，我們使用二次方程求根公式寫出實根：
轉折頻率\(\omega_{2}\)可以表示為：
其中將\(F(Q)\)定義為：
注意到，當\(Q<<0.5\)時，\(4Q^2<<1\)，那么\(F(Q)\)就近似等於1。我們可以得到：
\(F(Q)\)的函數如圖8.26所示。可以看出，當\(Q\)降低到0.5以下時，\(F(Q)\)很快接近於1。
Fig. 8.26 F(Q) v s. Q, as given by Eq . (8.77). The approximation F(Q) = 1 is within 10% of the exact value for Q < 0.5
為了得到\(\omega_{1}\)的近似值，我們將式(8.74)先乘(8.77)的\(F(Q)\)，展開化簡后，再除以\(F(Q)\)。通過簡化我們得到：
同樣的，當\(Q\)較小時，\(F(Q)\)趨近於1。因此，\(\omega_{1}\)可以近似為：
圖8.27給出了低\(Q\)情況下的幅值漸近線。當\(Q<0.5\)時，\(\omega_{0}\)處的兩個極點分裂成實數極點。一個極點出現在轉折頻率\(\omega_{1}<\omega_{0}\)處，另一個出現在轉折頻率\(\omega_{2}>\omega_{0}\)處。使用式(8.78)和(8.80)可以很容易估算轉折頻率。
Fig. 8.27 Magnitude asymptotes predicted by the low-Q approximation. Real poles occur at frequencies\(Qf_0\) and$ f_0/Q$
對於如圖8.18所示的濾波器電路，參數\(Q\)和\(\omega_{0}\)由式(8.61)給出。當\(Q<<0.5\)時，我們可以利用式(8.78)和(7.80)推導出如下所示的轉折頻率的解析表達式：
因此，低\(Q\)值逼近允許我們推導面向設計的轉折頻率的簡化解析表達式。
8.1.8 高\(Q\)值逼近
另一個有趣的情況是確定含多個電阻元件的高\(Q\)值諧振電路的\(Q\)系數。例如，考慮圖8.28所示的含負載電阻\(R\)和電容串聯電阻\(R_{C}\)的LC諧振電路。在較大\(R\)和小\(R_{C}\)的情況下，電路近似為無阻尼LC電路，諧振頻率為：
Fig. 8.28 Two-pole low-pass filter with two resistive elements
當\(R_{C}\)小到可以忽略而\(R\)又很大時，這個電路已經在先前的8.1.6節中討論過了(圖8.18)。先前我們已經得到了該電路的\(Q\)系數：
其中：
那么傳遞函數為：
相反，當負載電阻\(R\)較大但同時\(R_{C}\)也比較顯著時，我們可以分析電路並找到如下所示的傳遞函數：
轉折頻率\(\omega_{0}\)由式(8.82)，但\(Q\)系數為：
因此這兩種阻尼情況分別導致相似的二階分母，其中的\(Q\)系數取決於電阻值。
對於\(R\)和\(R_{C}\)同時引起顯著阻尼的情況下，我們可以分析圖8.28所示的電路來推導傳遞函數：
該式子可以被表示為如下所示的標准形式：
其中：
如果\(Q_{load}>>1\)且\(Q_{C}>>1\)，那么：
式(8.88)可以簡化如下所示：
因此，對於\(R\)和\(R_{C}\)同時引起顯著阻尼的情況，可以使用高\(Q\)值逼近根據\(Q_{load}\)和\(Q_{C}\)來估算復合\(Q\)因子：
其中符號\(x||y\)代表並聯結果，也就是倒數相加再取倒數。分母的這種極點近似是准確的，只要滿足如下式子：
兩個阻尼項\(Q_{load}\)和\(Q_{C}\)同時影響精確的頻率和\(Q\)系數。我們可以用下面的標准形式來表示式(8.88):
其中精確的轉折頻率\(\omega_{e}\)和\(Q\)系數\(Q_{e}\)為：
並且：
系數\(F_{H}(Q_{1}Q_{2})\)如圖8.29所示。可以看到，當兩個\(Q\)因子的乘積增加到1以上時，這個系數收斂到1。
Fig 8.29 \(F_{H}(Q_{1}Q_{2})\) vs. \(Q_{1}Q_{2}\) as given by Eq.(8.96). The approximation \(F_{H}(Q_{1}Q_{2}) \approx 1\) is within 10% of the correct value for \(Q_{1}Q_{2}>5\)
綜上所述，高\(Q\)值逼近表示在由兩個分別引起\(Q_{1}\)和\(Q_{2}\)的元件構成的諧振電路中，其復合\(Q\)系數為\(Q_{1}||Q_{2}\)。這種近似方式有利於推導具有多個阻尼元件的面向設計的諧振電路簡化表達式。第9.5.4節中給出了一個示例，其中高\(Q\)逼近大大簡化了對電感和電容上的電阻都進行建模的buck變換器的模型方程。
8.1.9 任意階多項式的近似根
我們還可以將低\(Q\)逼近法進行推導，來求解\(n\)階多項式的近似解析表達式。
我們期望將上述多項式分解為如下形式：
在實際電路中，系數\(a_{1},...a_{n}\)是實數，而時間常數\(\tau_{1},...\tau_{n}\)可能為實數也可能為復數。通常，部分或者所有的時間常數都可以很好的分隔開，並且會比較簡單的依賴於電路元件的值。在這種情況下，可以推導出時間常數的簡化近似解析表達式。
通過將式(8.98)乘開，可以將時間常數\(\tau_{1},...\tau_{n}\)用原始系數\(a_{1},...a_{n}\)來表示，其結果為：
這個方程組的一般解等於任意階多項式精確分解，這是一個非常困難的問題。但是，式(8.99)確實提出了一種近似根的方法。
假設所有的時間常數\(\tau_{1},...\tau_{n}\)都是實數並且值完全分開(譯者：無重根)。我們可以不失一般性的進一步假設，將時間常數按降序排列：
當式(8.100)的不等式滿足時，那么式(8.99)中的\(a_{1},...a_{n}\)表達式均以各自的第一項為主導項：
現在可以利用時間常數求解這些表達式，結果為：
因此，如果：
然后由等式(8.97)給出的多項式\(P(s)\)可以具有近似因式分解：
請注意，如果式(8.97)中的原始系數是電路元件的簡單函數，那么由(8.104)給出的近似根也同樣是類似的電路元件的簡單函數。那么就可以獲得根的近似解析表示。將數值代入式(8.103)可以證明近似的合理性。
當兩個根並沒有相距很遠時，式(8.103)的不等式中就要有不滿足的情況存在。這時，我們將相應的項保留為二次形式。假設第\(k\)個不等式不滿足：
然后將其近似分解為：
要保證上式的精確性，需要滿足：
復雜的共軛根可以用這種形式簡化。
當式(8.103)的第一個不等式不滿足時：
那么前兩個根應該以二次形式保留：
那么要保證上述近似合理，就要滿足如下前提：
如果以上的近似均不滿足，那么就可能存在三個以上的根並沒有相距很遠，這時就要使用三次或更高階次的形式。
例如，考慮圖8.30所示的阻尼EMI濾波器。通常將這類濾波器放置在變換器電源輸入處以衰減變換器輸入電流中的開關成分。通過電路分析，可以證明濾波器的傳遞函數如下所示：
Fig. 8.30 Input EMI filter example
該傳遞函數包含一個三階分母，其系數如下所示：
我們期望將分母分解，來獲得極點的解析表達式。正確的方法肯定是取決於\(R,L_{1},C\)的數值。當根為實數且分隔較遠時，按式(8.104)的形式可以將其分解為：
根據式(8.113)，近似需要滿足：
上式必須在\(L_{1}>>L_{2}\)的情況下才能滿足。當\(L_{1}>>L_{2}\)時，式(8.114)可以被簡化為：
經過近似分解，式(8.113)可以進一步簡化為：
因此，在這種情況下，傳遞函數包含三個相距較遠的極點。式(8.113)和(8.116)代表了式(8.111)中的分母的近似分解解析式。盡管必須將數值代入公式(8.114)或者(8.115)來證明近似的正確性，但無論如何，我們都可以將式(8.113)和(8.116)表示為\(L_{1},L_{2},R,C\)的解析函數。公式(8.113)和(8.116)是面向設計的，因為它們可以深入了解如何選擇元件的值，從而獲得給定的指定極點頻率。
當式(8.114)的第二個不等式不滿足時：
那么第二和第三個根應該以二次形式保留：
這個表達式就來自\(k=2\)時的式(8.106)。根據式(8.107)可知上述近似要在如下前提下滿足：
在式(8.117)的應用中，我們使\(a_{0}\)等於1。(8.119)的不等式簡化為：
請注意，這里不再需要\(RC>>L_{2}/R\)。式(8.120)意味着可以將因式分解(8.118)進一步簡化為：
因此，在這種情況下，傳遞函數包含一個低頻極點，並且這個極點與高頻的二次極點對相隔較遠。同樣，因式分解結果表示為元件值的解析函數，因此也是面向設計的公式。
在第一個不等式不滿足的情況下：
那么第一和第二個根將被表示為二次形式：
這個表達式從式(8.109)而來。式(8.110)給出了上述表示形式的前提：
也就是：
在這種情況下，傳遞函數包含一個低頻二次極點對，該二次極點對與高頻實極點相距較遠。如果上述的近似表示均不成立，那么三個根相距的就都不遠。這個時候，我們就得找到其他可以處理這種三次多項式的方法。而包括圖8.30所示的輸入濾波器的設計將在第17章中介紹。