2.2 電感伏秒平衡、電容充放電平衡以及小紋波近似
讓我們更加仔細地觀察圖2.6中的buck變換器的電感和電容的波形。我們是不可能設計一個濾波器能夠只允許直流分量通過而完全濾除開關頻率次諧波的。所以，低通濾波器允許非常少含量的高頻諧波輸出。因此，圖2.7所示的輸出電壓\(v(t)\)波形實際上可表達為：
Fig 2.6 Buck converter containing practical low-pass filter
所以，實際輸出電壓\(v(t)\)就包含了直流分量\(V\)，加上由於低通濾波器不能完全濾除的高頻諧波\(v_{ripple}(t)\)。為觀察明顯，圖2.7中誇大了諧波\(v_{ripple}(t)\)的幅值。
Fig 2.7 Actual output voltage waveform
在任何設計優良的變換器中，輸出電壓的開關頻率紋波都應較小，因為目標是產生直流輸出。例如，在具有3.3 V輸出的計算機電源中，通常要求開關紋波小於幾十mV或小於直流分量的1%。因此，我們假設開關頻率次紋波的幅值遠小於直流分量是一個很好的近似。
因此，在忽略小紋波\(v_{ripple}\)前提下，輸出電壓\(v(t)\)可以很好的近似為其直流分量\(V\)
這種近似稱為小紋波近似，或線性紋波近似，其本書中使用大大簡化了轉換器波形的分析。
接下來讓我們分析電感電流波形。我們可以通過對電感電壓波形積分得到電感電流。在開關處於位置1的情況下，電感的左側連接到輸入電壓\(V_{g}\)，電路圖簡化為圖2.8（a）。電感電壓\(V_{L}(t)\)可以得到為：
Fig 2.8 Buck converter analysis: inductor current waveform
如上所述，輸出電壓\(v(t)\)由直流分量V加上很小的交流紋波項組成。這里我們可以采用式(2.6)的小紋波近似，用直流分量代替輸出電壓
因此，在開關處於位置1的情況下，電感電壓基本恆定等於\(V_{g}-V\)，如圖2.9所示。已知電感電壓波形后，可以采用下式得到電感電流：
Fig 2.9 Inductor voltage waveforms
因此，在第一個時間間隔內，當電感電壓\(v_{L}(t)\)近似等於\(V_{g}-V\)時，電感電流波形的斜率約為:
其實就是式(2.9)除以電感L，再代入式(2.8)。由於開關處於位置1時電感電壓基本恆定，因此電感電流斜率基本恆定，電感電流線性變化。
類似的方法，當開關處於位置2時，波形為第二個區間。電感左側連接到地，表示為圖2.8(b)所示。電感的電壓和電流極性定義始終保持一致是非常重要的。特別的，在圖2.7和2.8中一致的定義了電感電壓的極性，因此電感電壓在第二個區間內為：
利用式(2.6)的小諧波近似方法(即忽略諧波成分)得到：
因此，當開關處於位置2時，電感電壓也基本恆定，如圖2.9所示。代入式(2.12)轉化為(2.9)得到電感電流斜率的解：
因此，在第二個間隔期間，電感電流以負極性且基本恆定的斜率變化。
現在，我們可以繪制電感電流波形圖（圖2.10）。電感電流從某個初始值\(i_{L}(0)\)開始。在第一個子間隔期間，當開關處於位置1時，電感電流會按照方程式(2.10)中給出的斜率增加。隨着時間的變化，當\(t=DT_{s}\)開關切換到位置2。然后，電流以方程式(2.13)給定的恆定斜率減小。隨后，當\(t=T_{s}\)時，開關又回到位置1，然后重復該過程。
Fig 2.10 Inductor current waveforms
計算電感電流的紋波\(\Delta{i_{L}}\)非常重要,如圖2.10所示，電感電流峰值等於直流分量\(I\)加上峰值到平均值偏差紋波\(\Delta{i_{L}}\)。這個峰值電流不僅流經電感，它還會流過構成開關的半導體器件。因此，在確定這些器件的額定值時，必須要知道峰值電流。
由於我們知道了第一個區間電感電流斜率大小，同時也知道了其區間時間間隔長度，因此我們可以計算出紋波的幅值。電感電流\(i_{L}(t)\)是關於平均值\(I\)對稱的，因此在第一個時間區間內，電流增加了\(2\Delta{i_{L}}\)。因此，電流變化量\(2\Delta{i_{L}}\)等於電流變化斜率乘以時間區間長度：
求解得到：
一般情況下，紋波電流典型值為直流分量\(I\)滿載時的10%-20%之間。當然，紋波值也不允許太大，這樣會造成流過電感和半導體器件峰值電流過大，增加其成本。(譯者：當然，電感需要更多討論，電感器大小與感值和功率均有關系，這里不詳細討論)因此一般設計時，電流紋波相對直流分量而言通常較小。對於電感電流而言，采用前述的小紋波近似也就是合理的。(即：忽略紋波值，以平均值代替計算分析)
在獲得紋波電流計算公式后，我們可以根據紋波大小\(\Delta{i_{L}}\)設計電感值，求解式(2.15)可得：
當然，完全有可能精確地求解轉換器，而無需使用小紋波近似。例如，可以使用拉普拉斯變換來為圖2.8(a)和2.8(b)的電路的波形編寫表達式。然后可以將變換求逆，匹配邊界條件，並找到電路的周期性穩態解。這樣做之后，便可以找到波形的直流分量和峰值。但這樣工作量太大，並且結果幾乎總是很復雜的。此外，由於波動很小且不希望出現，因此寫一些方程來精確描述波動所涉及的額外工作完全是浪費時間。小紋波近似很容易應用，並且可以快速得到變換器波形的直流分量的簡單表達式。
圖2.10的電感電流波形是在穩態條件下繪制的，變換器處於平衡狀態。接下來，讓我們考慮一下變換器首次開關時電感電流會發生什么情況。假設電感電流和輸出電流初始值為0，然后施加輸入電壓\(V_{g}\)。如圖2.11所示，\(i_{L}(0)\)是0。在第一個子間隔區間，將開關置於位置1，我們知道電此時輸出電壓初始值為0，電感電流以斜率\(\frac{V_{g}-V}{L}\)上升。接下來，將開關置於位置2，電感電流將以斜率\(-\frac{v}{L}\)變化，而此時的v很小，因此該斜率實質上接近0。可以看到，由於\(i_{L}(T_{s})\)大於\(i_{L}(0)\)，電感電流在第一個開關周期內是凈增加的。由於電感電流流向輸出，因此輸出電容將緩慢充電，而v將緩慢增加。該過程在第二個及后續的開關周期中重復，電感電流在每個子間隔1內增加，在每個子間隔2內減小。
Fig 2.11 Inductor current waveform during turn-on transient
隨着輸出電容繼續充電且v增加，子間隔1期間的斜率減小，而子間隔2期間的斜率變得更負。最終，到達子間隔1期間電感器電流的增加等於子間隔2期間電感器電流的減小的點，於是在整個開關周期內電感器電流沒有凈變化，並且變換器在穩態下工作。變換器波形是周期性的：\(i_{L}(nT_{s})=i_{L}({(n+1)T_{s}})\)從這一點開始，電感器電流波形如圖2.10所示。
在平衡狀態下，一個開關周期內電感電流的凈變化為零的要求使我們找到了一種在任何開關變換器中找到穩態條件的方法：電感器伏秒平衡原理。給定定義關系：
對一個完整周期進行積分：
該方程式表明，在一個開關周期內電感電流的凈變化由方程式(2.18)的左側給出。 其與整個時間間隔內施加的電感器電壓的積分成比例。在穩態下，電感器電流的初始值和最終值相等，因此等式(2.18)的左側為零。在穩態下，施加的電感電壓的積分必須為零：
式(2.19)的右側單位是伏秒或者磁鏈，其表明，\(v_{L}(t)\)波形的面積或者說凈伏秒數必須是0。
兩邊同時除以控制周期\(T_{s}\)，可以得到等效公式為：
式(2.20)的右邊被認為是\(v_{L}\)的平均值或者是直流分量。其表明，在平衡狀態下，電感電壓必須具有零直流分量，或者說平均值為0。
圖2.9中的電感電壓波形如圖2.12所示。\(v_{L}(t)\)下的曲線面積\(\lambda\)被明確標識出來了，總面積由兩個矩形的面積之和，或者為：
Fig 2.12 Inductor voltage waveform
因此，平均值為：
令\(v_{L}=0\)，並且由於\(D+D^{'}=1\)，可以得到：
求解得到\(V\)：
與先前式(2.3)獲得的結果一致。因此，電感伏秒平衡原理允許我們推導變換器輸出電壓的直流分量的表達式。這種方法的優點是它的通用性：它可以應用於任何變換器。這種方法可以容易畫出電感電壓波形，且其平均值等於零。本章稍后將使用此方法來分析幾個更復雜的變換器。
類似的方法還可以應用於電容，電容特性的方程可表示為：
對上式在一個周期內進行積分：
在穩態下，電容電壓在一個開關周期內的凈變化必須為零，因此等式(2.26)的左側等於零。因此，在平衡狀態下，一個開關周期上的電容器電流積分（具有安培秒或電荷的大小）應為零。穩定狀態下電容器電荷沒有凈變化。等效方程是：
也就是，平衡狀態時，電容電流的平均值或者說直流分量必須是0。
這其實也應該是一個很直觀的結果。如果將直流電流始終流入電容，則電容將連續充電並且其電壓將無限制地增加。同樣，如果將直流電壓施加到電感兩端，則磁通將連續增加，並且電感電流將無限制地增加。公式(2.27)被稱為電容安-秒平衡或電容器電荷平衡原理，可用計算開關變換器中的穩態電流。