[Fundamental of Power Electronics]-PART II-8. 變換器傳遞函數-8.3 阻抗和傳遞函數圖形的構建

8.3 阻抗和傳遞函數圖形的構建

通常，我們可以通過觀察來繪制近似的bode圖，這樣沒有大量混亂的代數和不可避免的有關代數錯誤。使用這種方法可以對電路運行有較好的了解。在各種頻率下哪些元件主導電路的響應變得很明顯，同時合適的近似變得顯而易見。近似轉折頻率和漸近線的解析表達式就可以直接得到。復雜網絡的阻抗和傳遞函數也可以容易構建。因此，可以獲得對電路的較好了解，方便設計的工程師修改電路，來獲得所需的頻率響應。

圖形構造方法，也稱為“在圖形上做代數”，其涉及到使用一些簡單的規則來組合阻抗和傳遞函數的幅值bode圖等。

8.3.1 串聯阻抗：漸近線相加

串聯代表了阻抗的相加。如果單個阻抗幅值的bode圖是已知的，那么通過簡單取單個阻抗漸近線中最大的一條就可以找到串聯組合的漸近線。在很多情況下，結果都是准確的。在其他情況下，例如當各個漸近線斜率相同時，結果是近似的；盡管如此，這種近似的精度也可能是很高的。

Fig. 8.40 Series R–C network example

考慮圖8.40中的串聯電阻-電容網絡。我們期望構建串聯阻抗\(Z(s)\)的幅值漸近線，其中：

\[Z(s)=R+ \cfrac{1}{sC} \tag{8.150} \]

讓我們首先畫出各個阻抗的幅值。\(10\ \Omega\)電阻的阻抗的幅值為\(10\ \Omega \Rightarrow\ 20\ dB\Omega\)。如圖8.41所示，該值與頻率無關。電容阻抗幅值為\(1/\omega C\)。這個值與頻率\(\omega\)成反比，並且其bode圖是一條斜率為\(-20\ dB\)每十倍頻程的線。該線以角頻率\(\omega\)穿過\(1\ \Omega \Rightarrow\ 0\ dB\Omega\)，其中：

\[\cfrac{1}{\omega C} =1 \Omega \tag{8.151} \]

也就是：

\[\omega=\cfrac{1}{(1 \Omega)C}=\cfrac{1}{(1\Omega)(10^{-6}F)}=10^{6}rad/sec \tag{8.152} \]

圖為：

Fig. 8.41 Impedance magnitudes of the individual elements in the network of Fig.8.40

寫成頻率\(f\)，頻率為：

\[f=\cfrac{\omega}{2\pi}=\cfrac{10^{6}}{2\pi}=159\ kHz \tag{8.153} \]

如圖8.41所示，電容的阻抗幅值是一條斜率為\(-20\ dB\)每十倍頻程的線，並且其在159kHz通過\(0\ dB\Omega\)。需要注意的是，為了簡單起見，圖8.41中的漸近線被標記為\(R\)和\(1/\omega C\)。但是要畫bode就要用\(dB\Omega\)，例如\(20log_{10}(R/1\Omega)\)和\(20log_{10}((1/\omega C)/1\Omega)\)。

現在讓我們來構造式(8.150)給出的\(Z(s)\)的幅值。幅值\(Z\)可以近似如下：

\[||Z(j\omega)||=||R+\cfrac{1}{j\omega C}|| \approx \begin{cases} R \ \ \ for\ R>>1/\omega C \\ \cfrac{1}{\omega C} \ \ for\ R<<1/\omega C \end{cases} \tag{8.154} \]

串聯組合的漸進線只是單個電阻和電容漸近線中較大的一條，如圖8.42中的粗線所示。實際上在這個例子里，這就是\(||Z||\)的精確漸近線。在極限情況下，當頻率趨向於0(直流)時，電容趨向於開路。那么這個串聯組合由電容主導，實際值趨向於電容阻抗幅值的漸近線。在頻率趨於無窮的極限情況下，電容趨向於短路，總阻抗就變得很簡單了。因此，這個例子中\(R\)和\(1/\omega C\)的線就是實際的漸近線。

Fig. 8.42 Construction of the composite asymptotes of \(||Z||\). The asymptotes of the series combination can be approximated by simply selecting the larger of the individual resistor and capacitor asymptotes

漸近線交截處的轉折頻率\(f_{0}\)也很容易推導。在角頻率\(\omega_{0}=2\pi f_{0}\)處，兩條漸近線在數值上相等：

\[\cfrac{1}{\omega_{0}C}=R \tag{8.155} \]

求解\(f_{0}\)和\(\omega_{0}\)為：

\[\begin{aligned} & \omega_{0}=\cfrac{1}{RC}=\cfrac{1}{(10 \Omega)(10^{-6}F)}=10^{5} rad/sec \\ & f_{0}=\cfrac{\omega_{0}}{2\pi}=\cfrac{1}{2\pi RC}=16kHz \end{aligned} \tag{8.156} \]

因此，如果我們可以寫出漸近線的解析表達式，那么我們令表達式相等，就能找到漸近線相交的轉折頻率的解析表達式。

實際曲線與漸進線的偏差遵循常規的規則。漸近線的斜率在轉折頻率\(f_{0}\)處變化了\(+20dB\)每十倍頻程，因此在\(f=f_0\)處存在一個零點。因此，在\(f=f_{0}\)處，實際曲線與漸近線偏差為\(+3dB\)，並且在\(f=2f_{0}\)和\(f=f_{0}/2\)時偏差為\(+1dB\)。

8.3.2 串聯諧振電路示例

Fig. 8.43 Series R–L–C network example

作為第二個示例，讓我們來構建如圖8.43所示的串聯\(R-L-C\)電路的幅值漸近線。串聯阻抗\(Z(s)\)為：

\[Z(s)=R+sL+\cfrac{1}{sC} \tag{8.157} \]

圖8.44繪制出了單個電阻，電容和電感的漸近線。各元件值為：

\[\begin{aligned} & R=1\ k\Omega \\ & L=1\ mH \\ & C=0.1\ \mu F \end{aligned} \tag{8.158} \]

如圖8.44中粗實線所示，串聯阻抗在低頻，中頻以及高頻分別由電容、電阻和電感主導。

Fig. 8.44 Graphical construction of \(||Z||\) of the series R–L–C network of Fig.8.43, for the element values specified by Eq.(8.158)

阻抗\(Z(s)\)在角頻率\(\omega_{1}\)處有一個零點，這個頻率就是電容和電阻漸近線的交截頻率。通過令電阻和電容漸近線表達式相等，我們就可以求出這個頻率\(\omega_{1}\)：

\[R=\cfrac{1}{\omega_{1}C} \ \Rightarrow \omega_{1}=\cfrac{1}{RC} \tag{8.159} \]

第二個零點出現在角頻率\(\omega_{2}\)處，這個頻率實際就是電感和電阻漸近線的交截頻率。通過令電阻和電感的阻抗表達式相等，可以求出該頻率\(\omega_{2}\)：

\[R=\omega_{2}L \ \Rightarrow \omega_{2}=\cfrac{R}{L} \tag{8.160} \]

因此可以直接得到\(Z(s)\)幅值bode圖的所有重要特征的簡單表達式。需要注意的是，式(8.159)和(8.160)是轉折頻率\(\omega_{1}\)和\(\omega_{2}\)的近似表達式，而不是精確表達式。這兩個式子得到的結果與8.1.7節中利用低Q逼近的結果是一致的。

接下來，假設\(R\)的值減小到\(10\ \Omega\)。當\(R\)的值減小時，近似轉折頻率\(\omega_{1}\)和\(\omega_{2}\)越來越接近，在\(R=100\Omega\)

時，他們都是\(100\ krad/sec\)。進一步減小\(R\)的值時，漸近線將與\(R\)無關，圖8.45給出了\(R=10 \Omega\)的圖形。\(||Z||\)的漸近線直接由\(\omega L\)和\(1/\omega C\)兩部分構成。

所以，此時在\(\omega=\omega_{0}\)處存在兩個零點。在轉折頻率\(\omega_{0}\)處，電感和電容漸近線相交，因此：

\[\omega_{0}L=\cfrac{1}{\omega_{0}C}=R_{0} \tag{8.161} \]

因此，角頻率\(\omega_{0}\)的解為：

\[\omega_{0}=\cfrac{1}{\sqrt{LC}} \tag{8.162} \]

在\(\omega=\omega_{0}\)處，電感和電容阻抗的幅值均為\(R_{0}\)，這里將這個\(R_{0}\)稱為特征阻抗。

Fig. 8.45 Graphical construction of impedance asymptotes for the series R–L–C network example, with R decreased to 10 Ω

由於\(\omega=\omega_{0}\)處有兩個零點，那么這兩個零點有可能是復共軛的，峰值可能出現在\(\omega=\omega_{0}\)附近。那么就讓我們來研究一下，在\(\omega=\omega_{0}\)處，實際曲線是怎樣的。串聯阻抗的實際值\(Z(j\omega_{0})\)為：

\[Z(j\omega_{0})=R+j\omega_{0}L+\cfrac{1}{j\omega_{0}C} \tag{8.163} \]

將式(8.161)代入式(8.163)得到：

\[Z(j\omega_{0})=R+jR_{0}+\cfrac{R_{0}}{j}=R+jR_{0}-jR_{0}=R \tag{8.164} \]

在\(\omega=\omega_{0}\)時，電感和電容的阻抗在幅值上相等而相位上相反。因此他們在串聯時完全抵消，然后我們得到：\(Z(j\omega_{0})=R\)，如圖8.46所示。在\(\omega=\omega_{0}\)處諧振附近的實際曲線會明顯偏離漸近線，這是因為它的值是\(R\)決定的而不是\(\omega L\)或者\(1/\omega C\)決定的。

Fig. 8.46 Actual impedance magnitude (solid line) for the series resonant R–L–C example. The inductor and capacitor impedances cancel out at \(f = f_0\), and hence \(Z(jω_0) = R\)

我們從8.1.6節中可知，實際曲線與漸近線之間在\(\omega=\omega_{0}\)的差值等於\(Q\)。從式(8.46)可以看出：

\[|Q|_{dB}=|R_{0}|_{dB\Omega}-|R|_{dB\Omega} \tag{8.165} \]

或:

\[Q=\cfrac{R_{0}}{R} \tag{8.166} \]

式(8.161)到(8.166)就是串聯諧振電路的實際求解結果。

通過簡單的選擇較大的漸近線來確定漸近線的方法是可以應用於傳遞函數和阻抗的。例如，假設我們已經構造了兩個傳遞函數：\(G_{1}\)和\(G_{2}\)的幅值漸近線，並且我們希望得到\(G=G_{1}+G_{2}\)的漸近線。在所有頻率下，\(G\)的漸近線可以通過簡單的選擇\(G_{1}\)和\(G_{2}\)中較大的漸近線來進行近似：

\[G=G_{1}+G_{2}\approx \begin{cases} G_{1},\ \ ||G_{1}||>>||G_{2}|| \\ G_{2},\ \ ||G_{2}||>>||G_{1}|| \end{cases} \tag{8.167} \]

參考前面的例子，轉折頻率可以利用漸近線相等來求取。在下一章中，我們可以看到這種方法產生了一種簡單而強大的方法來確定反饋系統的閉環傳遞函數。

8.3.3 並聯阻抗：漸近線的逆加法(並聯計算)

並聯組合可以表示為阻抗的逆相加(inverse addition 實際為倒數相加取倒數)：

\[Z_{par}=\cfrac{1}{(\cfrac{1}{Z_{1}}+\cfrac{1}{Z_{2}}+...)}=Z_{1}//Z_{2}//... \tag{8.168} \]

如果各個獨立阻抗\(Z_{1},Z_{2},...\)已知，那么可以簡單地選擇最小的單個阻抗漸近線來確定並聯阻抗\(Z_{par}\)的漸近線。這是成立的，因為最小的阻抗其倒數是最大的，並將主導倒數的和。如同在串聯阻抗的情況下，這個過程就得到了\(Z_{par}\)的精確漸近線。

Fig. 8.47 Parallel R–L–C network example

讓我們來構建如圖8.47所示的並聯\(R-L-C\)幅值漸近線，具體值如下：

\[\begin{aligned} & R=10 \Omega \\ & L=1mH \\ & C=0.1 \mu F \end{aligned} \tag{8.169} \]

獨立元件阻抗幅值如圖8.48所示。

Fig. 8.48 Construction of the composite asymptotes of \(||Z||\), for the parallel R–L–C example. The asymptotes of the parallel combination can be approximated by simply selecting the smallest of the individual resistor, inductor, and capacitor asymptotes

總的並聯阻抗\(Z\)的漸近線可以通過簡單地選擇最小的單個元件阻抗來近似，如圖8.48中的粗線所示。因此，並聯阻抗\(Z\)在低頻，中頻以及高頻上分別由電感，電阻和電容主導。轉折角頻率的近似表達式同樣可以通過令漸近線相等來獲得：

\[\begin{aligned} & at\ \omega=\omega_{1},R=\omega_{1}L \Rightarrow \omega_{1}=\cfrac{R}{L} \\ & at\ \omega=\omega_{2},R=\cfrac{1}{\omega_{2}C} \Rightarrow \omega_{2}=\cfrac{1}{RC} \end{aligned} \tag{8.170} \]

這些表達式也可以通過8.1.7節中結合低\(Q\)逼近的傳統方法得到。

8.3.4 並聯諧振電路示例

Fig. 8.49 Graphical construction of impedance asymptotes for the parallel R–L–C example, with R increased to 1 kΩ

圖8.49展示了當並聯\(R-L-C\)電路中的電阻\(R\)的值增加到\(1\ k\Omega\)時會發生什么情況。\(||Z||\)的漸近線變得與\(R\)無關，並且在\(\omega_{0}\)處直接從\(\omega L\)變為了\(1/\omega C\)。轉折頻率\(\omega_{0}\)就是電感和電容漸近線相等時的頻率：

\[\omega_{0}L=\cfrac{1}{\omega_{0}C}=R_{0} \tag{8.171} \]

這就意味着：

\[\omega_{0}=\cfrac{1}{\sqrt{LC}} \tag{8.172} \]

在\(\omega=\omega_{0}\)處，\(||Z||\)的斜率從+20dB每十倍頻程變為了-20dB每十倍頻程，因此，這里存在兩個極點。我們需要通過確定\(||Z||\)在\(\omega=\omega_{0}\)處的實際值來判斷是否存在諧振峰，實際值如下：

\[\begin{aligned} & Z(j\omega_{0})=(R)//(j\omega_{0}L)||(\cfrac{1}{j\omega_{0}C}) \\ & = \cfrac{1}{(\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{j\omega_{0}L}+j\omega_{0}C)} \end{aligned} \tag{8.173} \]

將(8.171)代入(8.173)得到：

\[\begin{aligned} & Z(j\omega_{0})=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jR_{0}}+\cfrac{j}{R_{0}}} \\ & =\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}-\cfrac{j}{R_{0}}+\cfrac{j}{R_{0}}}=R \end{aligned} \tag{8.174} \]

因此，在\(\omega=\omega_{0}\)處，電感與電容的阻抗再一次抵消，並且只剩下\(Z(j\omega_{0})=R\)。L和C的值決定了漸近線的值，但\(R\)決定了\(\omega=\omega_{0}\)處實際曲線的值。

實際曲線如圖8.50所示。實際曲線與漸近線在\(\omega=\omega_{0}\)處的差值為：

\[|Q|_{dB}=|R|_{dB\Omega}-|R_{0}|_{dB\Omega} \tag{8.175} \]

或者：

\[Q=\cfrac{R}{R_0} \tag{8.176} \]

式(8.171)到(8.176)就是實際並聯電路的結果

Fig. 8.50 Actual impedance magnitude (solid line) for the parallel resonant R–L–C example. The
inductor and capacitor impedances cancel out at \(f = f_0\), and hence \(Z(jω_0) = R\)

對於阻抗幅值的圖形化構建方式已經是眾所周知了，電抗紙(reactance paper)已經可以購買到。如圖8.51所示，不同的電阻，電感和電容的阻抗大小繪制在半對數坐標軸上。電阻，電感和電容的阻抗漸近線可以直接畫在這個圖上，可以用圖形來確定轉折角頻率的數值。

Fig. 8.51 “Reactance paper”: an aid for graphical construction of impedances, with the magnitudes of various inductive, capacitive, and resistive impedances preplotted

8.3.5 分壓器傳遞函數：漸近線的除法

通常，我們可以用阻抗來表示傳遞函數--例如兩個阻抗的比值。如果我們可以利用前幾節所述的方法構建阻抗，那么我們可以通過除法來構建傳遞函數。在本節中，將詳細討論圖8.52的雙極點\(R-L-C\)低通濾波器傳遞函數的構建。這種形式的濾波器出現在兩極點變換器的規范模型中，本節的結果將用於下節的變換器實例。

Fig. 8.52 Two-pole low-pass filter based on voltage divider circuit: (a) transfer function H(s), (b) determination of Zout(s) by setting independent sources to zero, (c) determination of Zin(s)

我們熟知的分壓器公式表明，該電路的傳遞函數可以表示為阻抗比\(Z_{2}/Z_{in}\)，其中\(Z_{in}=Z_{1}+Z_{2}\)為網絡的輸入阻抗：

\[\cfrac{\hat{v}_{2}(s)}{\hat{v}_{1}(s)}=\cfrac{Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}=\cfrac{Z_{2}}{Z_{in}} \tag{8.177} \]

對於這個例子，\(Z_{1}(s)=sL\)，\(Z_{2}(s)\)由\(R\)和\(1/sC\)並聯而成。因此，我們可以通過構造\(Z_{2}\)的漸近線和由\(Z_{in}\)表示的串聯阻抗的漸近線，通過除法求解傳遞函數的漸近線。另一種方法是將等式的分子和分母同時乘以\(Z_{1}\)，這種方法在本例中更容易應用：

\[\cfrac{\hat{v}_{2}(s)}{\hat{v}_{1}(s)}=\cfrac{Z_{2}Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}} \cfrac{1}{Z_{1}}=\cfrac{Z_{out}}{Z_{1}} \tag{8.178} \]

其中\(Z_{out}=Z_{1}//Z_{2}\)是分壓器的輸出阻抗。所以另一種構造分壓器傳遞函數的方法首先是構造\(Z_{1}\)和以\(Z_{out}\)代表的並聯阻抗的漸近線，然后將其相除。當並聯阻抗\(Z_{1}//Z_{2}\)相比串聯阻抗\(Z_{1}+Z_{2}\)更加容易構建時，這個方法是更加好用的。這通常會帶來不同的近似結果，可能比使用\(Z_{in}\)得到的結果更加准確(有時更不准確)。

圖8.52b中的輸出阻抗\(Z_{out}\)為：

\[Z_{out}(s)=R//\cfrac{1}{sC}//sL \tag{8.179} \]

如圖8.52a所示的高\(Q\)逼近情況，並聯\(R-L-C\)網絡的阻抗在第8.3.3節已經構建。

根據式(8.178)，分壓器傳遞函數為\(||H||=||Z_{out}||/||Z_{1}||\)。這個值在圖8.53b中構建。當\(\omega=\omega_{0}\)，\(||Z_{out}||\)的漸近線與\(||Z_{1}||\)一致：都等於\(\omega L\)。因此比值\(||Z_{out}/Z_{1}||=1\)。當\(\omega>\omega_{0}\)時，漸近線\(||Z_{out}\)||的值為\(1/\omega C\)，此時\(||Z_{1}||\)的值為\(\omega L\)。此時比值\(||Z_{out}||/||Z_{1}||=1/\omega^{2}LC\)，因此高頻漸近線斜率為\(-40dB\)每十倍頻程。

Fig. 8.53 Graphical construction of H and Zout of the voltage divider circuit: (a) output impedance Zout; (b)transfer function H

在\(\omega=\omega_{0}\)處，\(||Z_{out}||\)的值為\(R\)，並且\(||Z_{1}||\)的值為\(R_{0}\)。該比值為\(||G(j\omega_{0})||=||Z_{out}(j\omega_{0})||/||Z_{1}(j\omega_{0})||=R/R_{0}=Q\)。因此，濾波器傳遞函數\(H\)與阻抗\(Z_{out}\)具有相同的\(\omega_{0}\)和\(Q\)。

現在，元件值的變化如何影響傳遞函數和輸出阻抗的特征值變得顯而易見。例如，增加\(L\)的效果可以如圖8.54所示。這使得角諧振頻率\(\omega_{0}\)降低，並且降低了品質因數。

Fig. 8.54 Effect of increasing L on the output impedance asymptotes, corner frequency, and Q-factor