1 引言
系統微分方程的解即為系統的輸出響應，通過方程解的表達式，可以分析系統的動態特性。
若繪出輸出響應曲線，便能直觀地反映系統的動態過程，但其求解過程是十分繁雜的。
對於線性定常系統，傳遞函數是常用的一種數學模型，是在拉氏變換基礎上建立的。
用傳遞函數描述系統可以免去求解微分方程的麻煩，間接地分析系統結構及參數與系統性能的關系。
並且可以根據傳遞函數在復平面上的形狀直接判斷系統的動態性能，找出改善系統品質的方法。
2 傳遞函數
2.1 概念及定義
在零初始條件下，線性定常系統輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。
零初始條件：
1. t<0時，輸入量及其各階導數均為0。
2. 輸入量施加於系統之前，系統處於穩定的工作狀態，即t<0 時，輸出量及其各階導數也均為0。
設線性定常系統的微分方程為：
零初始條件下拉氏變換，得
則系統傳遞函數為
具有以下特點：
1. 比微分方程簡單，通過拉氏變換，實數域復雜的微積分運算已經轉化為簡單的代數運算。
2. 輸入典型信號時，其輸出與傳遞函數有一定對應關系，當輸入是單位脈沖函數時，輸入的象函數為1，其輸出象函數與傳遞函數相同。
3. 令傳遞函數中的s=jω，則系統可在頻率域內分析。
4. G(s)的零極點分布決定系統動態特性。
等效彈性剛度：
等效復阻抗：
2.2 傳遞函數實例
2.2.1 質量-彈簧-阻尼系統傳遞函數
所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：
按照定義，系統傳遞函數為：
2.2.2 R-L-C無源電路網絡傳遞函數
2.3 幾點結論
1. 傳遞函數是復數s域中的系統數學模型，其參數僅取決於系統本身的結構及參數，與系統的輸入形式無關。
2. 若輸入給定，則系統輸出特性完全由傳遞函數G(s) 決定，即傳遞函數表征了系統內在的固有動態特性。
3. 傳遞函數通過系統輸入量與輸出量之間的關系來描述系統的固有特性，即以系統外部的輸入—輸出特性來描述系統的內部特性。
2.4 傳遞函數的一般形式
線性定常系統：
當初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換可得系統傳遞函數的一般形式：
2.4.1 特征方程、零點和極點
令：
則：
D(s)=0稱為系統的特征方程，其根稱為系統的特征根。
特征方程決定着系統的動態特性，D(s)中s的最高階次等於系統的階次。
當s=0時，有
式中，K稱為系統的靜態放大系數或靜態增益。
從微分方程的角度看，此時相當於所有的導數項都為零。因此K反應了系統處於靜態時，輸出與輸入的比值。
2.4.2 零點和極點
將G(s)寫成下面的形式：
系統傳遞函數的極點就是系統的特征根，零點和極點的數值完全取決於系統的結構參數。
2.4.3 零、極點分布圖
將傳遞函數的零、極點表示在復平面上的圖形稱為傳遞函數的零、極點分布圖。圖中，零點用“O”表示，極點用“×”表示。
2.4.4 傳遞函數的幾點說明
1. 傳遞函數是一種以系統參數表示的線性定常系統輸入量與輸出量之間的關系式，傳遞函數的概念通常只適用於線性定常系統。
2. 傳遞函數是s的復變函數，傳遞函數中的各項系數和相應微分方程中的各項系數對應相等，完全取決於系統結構參數。
3.傳遞函數是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統對所給定的平衡工作點處於相對靜止狀態。因此，傳遞函數不反映系統在非零初始條件下的全部運動規律。
4. 傳遞函數只能表示系統輸入與輸出的關系，無法描述系統內部中間變量的變化情況。
5. 一個傳遞函數只能表示一個輸入對一個輸出的關系，適合於單輸入單輸出系統的描述，對於多輸入多輸出將采用傳遞函數陣。
2.4.5 脈沖響應函數
初始條件為0時，系統在單位脈沖輸入作用下的輸出響應的拉氏變換為
拉氏反變換為
g(t)稱為系統的脈沖響應函數（權函數）。
系統的脈沖響應函數與傳遞函數包含關於系統動態特性的相同信息。
注意到復數域相乘等同於時域內卷積，因此，由
知線性系統在任意輸入作用下，其時域輸出
式中，當t<0時，g(t) = x(t) = 0。
3 典型環節及其傳遞函數
3.1 環節
具有某種確定信息傳遞關系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環節，經常遇到的環節稱為典型環節。
任何復雜的系統總可歸結為由一些典型環節所組成。
3.2 環節的分類
假設系統有b個實零點，c對復零點，d個非零實極點，e對復極點和v個等於零的極點。
線性系統傳遞函數的零、極點表達式為
1. 對於實零點zi=-αi和實極點pj=-βj ，其因式可以變換成如下形式：
2. 對於復零點對zℓ=-αℓ+jωℓ和zℓ+1=-αℓ -jωℓ，其因式可以變換成如下形式：
式中，
3. 對於復極點對pk=-αk+jωk和pk+1=-αk -jωk ，其因式可以變換成如下形式：
式中，
於是，傳遞函數可以寫成：
式中，
為系統靜態放大倍數。
由上式可見，傳遞函數表達式包含六種不同的因子：
一般，任何線性系統都可以看作是由上述六種因子表示的典型環節的串聯組合。上述六種典型環節分別稱為：
注：實際系統中存在純時間延遲現象，輸出完全復現輸入，但延遲了時間τ，即：
此時
此即上面最后一種環節。
3.3 典型環節示例
3.3.1 比例環節
輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關系。
比例環節傳遞函數：
3.3.2 一階慣性環節
凡是運動方程為下面一階微分方程：
形式的環節稱為一階慣性環節，其傳遞函數為：
如：彈簧-阻尼器環節
3.3.3 微分環節
輸出量正比於輸入量的微分。
無源微分網絡：
顯然，無源微分網絡包括有慣性環節和微分環節，稱之為慣性微分環節。
只有當|Ts|<<1時，才近似為微分環節。
傳遞函數為：
時，稱為一階微分環節。
微分環節的輸出是輸入的導數，即輸出反映了輸入信號的變化趨勢，從而給系統以有關輸入變化形勢的預告。
因此，微分環節常用來改善控制系統的動態性能。
3.3.4 積分環節
輸出量正比於輸入量對時間的積分。
1. 輸出量取決於輸入量對時間的積累過程。
2. 具有明顯的滯后作用：
如當輸入量為常值A時，由於
輸出量必須經過時間T才能達到輸入量在t=0時的值A。
因此，積分環節常用來改善系統的穩態精度。
如，有源積分網絡：
3.3.5 二階振盪環節
含有兩個獨立的儲能元件，且存儲的能量能夠相互轉換，從而導致輸出帶有振盪的性質，運動方程為：
傳遞函數為：
二階振盪環節傳遞函數的另一常用標准形式為（K=1）：
ωn稱為無阻尼固有角頻率。
如質量-彈簧-阻尼系統：
傳遞函數：
3.3.6 延遲環節
延遲環節與慣性環節的區別：
1. 慣性環節從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由於慣性，輸出要滯后一段時間才接近要求的輸出值。
2. 延遲環節從輸入開始之初，在0~τ時間內，沒有輸出，但t=τ之后，輸出等於τ之前時刻的輸入。
3.4 小結
