該系列為DR_CAN自動控制原理視頻筆記，詳見https://space.bilibili.com/230105574
由於筆者水平有限，文中難免存在一些不足和錯誤之處，誠請各位批評指正。
1 一階系統的例子
對於一個一階系統，我們通過傳遞函數得到輸入與輸出的關系，並對其進行拉普拉斯逆變換，可以得到系統的微分方程。這樣的計算只有系統滿足零初始條件（0 initial condition）的時候才是正確的：
如果系統不滿足零初始條件，即 \(x(0)\neq0\) 時，我們仍然按照一般的方式等式兩邊進行拉普拉斯變換。但在非零初始條件下 \(\mathcal{L}\{\dot x(t)\} = sX(s)-x(0)\) ：
我們將傳遞函數畫成框圖的形式：
我們令 \(U_2(s) = x(0)\) 。對該式進行拉普拉斯逆變換可以得到 \(u(t)=x(0)\delta(t)\) ，其中 \(\delta (t)\) 為單位沖激函數。我們發現，當系統不滿足零初始條件時，我們仍可以通過相同的傳遞函數來描述系統。只不過是在輸入中加入一個大小為初始條件 \(x(0)\) 的沖激函數，而這一項並不會影響系統的穩定性和特性。
這時系統在0輸入下的響應大致就是這樣的：
2 更高階的系統
拉普拉斯變換表：
一階系統的非零初始條件比較好算，二階再往上就比較復雜了，這里寫一下二階系統非零初始條件的結果。
設二階系統的運動方程為：
\[a_{0} \ddot{x}(t)+a_{1} \dot{x}(t)+a_{2} x(t)=b_{2} r(t) \]
對其進行拉普拉斯變換得：
\[X(s)=\frac{b_{2}}{a_{0} s^{2}+a_{1} s+a_{2}} U(s)+\frac{a_{0}[x(0) s-\dot{x}(0)]+a_{1} x(0)}{a_{0} s^{2}+a_{1} s+a_{2}} \]
可以看到，隨着系統階數的提高，非零初始條件下的系統輸出表示就越復雜，所以在這種情況下我們一般選用狀態空間方程來描述系統。