该系列为DR_CAN自动控制原理视频笔记，详见https://space.bilibili.com/230105574
由于笔者水平有限，文中难免存在一些不足和错误之处，诚请各位批评指正。
1 一阶系统的例子
对于一个一阶系统，我们通过传递函数得到输入与输出的关系，并对其进行拉普拉斯逆变换，可以得到系统的微分方程。这样的计算只有系统满足零初始条件（0 initial condition）的时候才是正确的：
如果系统不满足零初始条件，即 \(x(0)\neq0\) 时，我们仍然按照一般的方式等式两边进行拉普拉斯变换。但在非零初始条件下 \(\mathcal{L}\{\dot x(t)\} = sX(s)-x(0)\) ：
我们将传递函数画成框图的形式：
我们令 \(U_2(s) = x(0)\) 。对该式进行拉普拉斯逆变换可以得到 \(u(t)=x(0)\delta(t)\) ，其中 \(\delta (t)\) 为单位冲激函数。我们发现，当系统不满足零初始条件时，我们仍可以通过相同的传递函数来描述系统。只不过是在输入中加入一个大小为初始条件 \(x(0)\) 的冲激函数，而这一项并不会影响系统的稳定性和特性。
这时系统在0输入下的响应大致就是这样的：
2 更高阶的系统
拉普拉斯变换表：
一阶系统的非零初始条件比较好算，二阶再往上就比较复杂了，这里写一下二阶系统非零初始条件的结果。
设二阶系统的运动方程为：
\[a_{0} \ddot{x}(t)+a_{1} \dot{x}(t)+a_{2} x(t)=b_{2} r(t) \]
对其进行拉普拉斯变换得：
\[X(s)=\frac{b_{2}}{a_{0} s^{2}+a_{1} s+a_{2}} U(s)+\frac{a_{0}[x(0) s-\dot{x}(0)]+a_{1} x(0)}{a_{0} s^{2}+a_{1} s+a_{2}} \]
可以看到，随着系统阶数的提高，非零初始条件下的系统输出表示就越复杂，所以在这种情况下我们一般选用状态空间方程来描述系统。